Amortissement d'un crédit : la râpe à manioc des Greniers du Noun (Bafoussam)
La coopérative agricole Les Greniers du Noun, à Bafoussam, achète une râpe à manioc motorisée au prix de 3 000 000 FCFA. Faute de trésorerie, elle emprunte l'intégralité de la somme à la banque A, qui facture un intérêt mensuel de 1,5 % et exige des mensualités constantes de 150 000 FCFA, la première tombant un mois après le déblocage des fonds. Le trésorier note u₀ = 3 000 000 le capital restant dû juste après le déblocage et admet la relation uₙ₊₁ = 1,015 uₙ − 150 000. Le président, lui, a calculé sur un cahier : « 3 000 000 divisé par 150 000 donne 20 ; nous aurons soldé en 20 mois et l'emprunt ne nous coûtera rien de plus que le prix de la machine. » Une seconde banque, B, propose 2 % par mois avec des mensualités de 200 000 FCFA. La coopérative doit signer dans la semaine et veut savoir laquelle des deux offres lui coûte réellement le moins cher, sans mettre en danger la paie des saisonniers.
1. Étudier la suite (uₙ) puis déterminer le nombre exact de mensualités nécessaires pour solder le crédit auprès de la banque A. La prévision du président est-elle défendable ?
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On cherche le point fixe : L = 150 000 / 0,015 = 10 000 000 FCFA, puis on pose vₙ = uₙ − L. Alors vₙ₊₁ = 1,015 vₙ : la suite (vₙ) est géométrique de raison 1,015, avec v₀ = 3 000 000 − 10 000 000 = −7 000 000.
D'où uₙ = 10 000 000 − 7 000 000 × 1,015ⁿ. Comme la raison dépasse 1 et que v₀ est négatif, uₙ décroît strictement : le crédit est bien amortissable. Ce résultat s'explique économiquement : dès le premier mois les intérêts valent 0,015 × 3 000 000 = 45 000 FCFA, et la mensualité de 150 000 les dépasse largement.
uₙ ≤ 0 ⟺ 1,015ⁿ ≥ 10/7 ≈ 1,4286 ⟺ n ≥ ln(10/7)/ln(1,015) ≈ 0,3567/0,01489 ≈ 23,96, donc n = 24. Vérification : u₂₃ ≈ 141 250 FCFA reste dû ; la 24ᵉ mensualité n'est donc pas pleine, elle vaut 1,015 × 141 250 ≈ 143 400 FCFA. Coût total des intérêts : 23 × 150 000 + 143 400 − 3 000 000 ≈ 593 000 FCFA.
La prévision du président est doublement fausse : elle traite un emprunt rémunéré comme un simple étalement de paiement (le rapport prix/mensualité ne vaut que si le taux est nul) et elle ignore que la dernière échéance est partielle. L'erreur porte sur près de 20 % du prix de la machine.
2. Comparer les deux offres sur le seul coût total, puis formuler un conseil argumenté qui tienne compte de la trésorerie de la coopérative.
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Banque B : le point fixe vaut 200 000 / 0,02 = 10 000 000 FCFA, valeur identique à celle de A. On obtient uₙ = 10 000 000 − 7 000 000 × 1,02ⁿ, d'où uₙ ≤ 0 ⟺ 1,02ⁿ ≥ 10/7 ⟺ n ≥ 0,3567/0,01980 ≈ 18,01, soit 19 mensualités. u₁₈ ≈ 2 280 FCFA : la dernière échéance est presque nulle. Coût total : 18 × 200 000 + 2 300 ≈ 3 602 300 FCFA, soit environ 602 300 FCFA d'intérêts.
Comparaison : A coûte 3 593 400 FCFA, B coûte 3 602 300 FCFA. L'écart, de l'ordre de 9 000 FCFA (0,25 %), est négligeable : conclusion contre-intuitive, un taux plus élevé sur une durée plus courte donne ici quasiment le même coût total. Le critère décisif n'est donc pas le coût mais la trésorerie : A exige 150 000 FCFA par mois pendant 24 mois, B 200 000 FCFA pendant 19 mois. Si la coopérative dégage un excédent mensuel de l'ordre de 160 000 FCFA, l'offre B est matériellement insoutenable et un défaut de paiement coûterait bien plus que 9 000 FCFA de pénalités. À l'inverse, si l'excédent dépasse 200 000 FCFA, B libère la coopérative cinq mois plus tôt.
Conseil : retenir A pour la sécurité de trésorerie, sauf si le solde mensuel est vérifié au-delà de 200 000 FCFA.
3. Le trésorier propose, « pour respirer », de ne rembourser que 45 000 FCFA par mois. Décrire l'évolution de la dette et expliquer le danger. Que se passerait-il avec 40 000 FCFA ?
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Avec une mensualité m, le point fixe est L = m / 0,015 et uₙ = L + (u₀ − L) × 1,015ⁿ.
Pour m = 45 000 : L = 45 000 / 0,015 = 3 000 000 = u₀. Donc u₀ − L = 0 et uₙ = 3 000 000 pour tout n. La mensualité couvre exactement les intérêts du premier mois, et comme le capital ne baisse pas les intérêts ne baissent pas non plus : la dette est perpétuelle. Au bout de 24 mois la coopérative doit toujours 3 000 000 FCFA, après avoir versé 1 080 000 FCFA.
Pour m = 40 000 : L = 2 666 667 < u₀, donc u₀ − L > 0 et uₙ = 2 666 667 + 333 333 × 1,015ⁿ : la dette croît exponentiellement (environ 2 950 000 FCFA dès le premier mois). C'est l'amortissement négatif.
Le seuil critique est donc le montant des intérêts courus, ici 45 000 FCFA : toute mensualité inférieure fait grossir la dette, toute mensualité supérieure l'amortit, et plus elle est élevée plus l'amortissement est rapide. Le trésorier confond « payer moins chaque mois » et « payer moins au total » : la baisse de la mensualité se paie en durée, et sous le seuil des intérêts elle se paie en capital.