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Baccalauréat Série D Cameroun practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques

Soit (u_n) la suite définie par u_n = (3n + 1)/(n + 2) pour tout entier n ≥ 0. Quelle est la limite de cette suite lorsque n tend vers +∞ ?

  1. 0
  2. +∞
  3. 1/2
  4. 3 Correct answer.

Explanation

On divise numérateur et dénominateur par n : u_n = (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Comme 1/n et 2/n tendent vers 0, la limite vaut 3/1 = 3, qui est le rapport des coefficients dominants.

Question 2Mathématiques

On considère la suite arithmétique (u_n) de premier terme u_0 = 5 et de raison r = -3. Quelle est la valeur de u_10 ?

  1. -25 Correct answer.
  2. 35
  3. -30
  4. -20

Explanation

Pour une suite arithmétique, u_n = u_0 + n·r. Ici u_10 = 5 + 10×(-3) = 5 - 30 = -25. Le terme général est donc bien décroissant puisque la raison est négative.

Question 3Mathématiques

Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x²·ln(x) ?

  1. x + 2ln(x)
  2. x(2ln(x) + 1) Correct answer.
  3. 2x + 1/x
  4. 2x·ln(x)

Explanation

On applique la règle du produit (uv)' = u'v + uv' avec u = x² et v = ln(x). On obtient f'(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) = 2x·ln(x) + x = x(2ln(x) + 1).

Question 4Mathématiques

Dans le plan complexe, on donne z = 1 + i√3. Quel est le module de z ?

  1. √3
  2. 1
  3. 2 Correct answer.
  4. 4

Explanation

Le module d'un complexe z = a + ib vaut |z| = √(a² + b²). Ici |z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2. On remarque aussi que z = 2·e^(iπ/3).

Question 5Mathématiques

Quelle est la valeur de l'intégrale ∫₀¹ (2x + 1) dx ?

  1. 3/2
  2. 2 Correct answer.
  3. 1/2
  4. 1

Explanation

Une primitive de 2x + 1 est x² + x. On évalue entre 0 et 1 : (1² + 1) - (0 + 0) = 2. L'aire sous la droite sur [0 ; 1] vaut donc 2 unités d'aire.

Question 6Mathématiques

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

  1. 1/6
  2. 2/3
  3. 1/3
  4. 1/2 Correct answer.

Explanation

Les issues favorables sont 2, 4 et 6, soit 3 cas sur 6 issues équiprobables. La probabilité vaut donc 3/6 = 1/2, en appliquant la loi uniforme sur un univers fini.

Question 7Mathématiques

Quelle est la solution générale de l'équation différentielle y' = 3y sur ℝ ?

  1. y(x) = C·e^(x)
  2. y(x) = 3x + C
  3. y(x) = C·e^(-3x)
  4. y(x) = C·e^(3x) Correct answer.

Explanation

L'équation y' = ay admet pour solutions y(x) = C·e^(ax) avec C constante réelle. Ici a = 3, donc y(x) = C·e^(3x). La condition initiale fixerait ensuite la valeur de C.

Question 8Mathématiques

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Quelle est la distance AB ?

  1. √7
  2. 7
  3. 5 Correct answer.
  4. 25

Explanation

La distance se calcule par AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²). Ici AB = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Question 9Mathématiques

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x. Quelle est la valeur de f'(1) ?

  1. 3
  2. 1
  3. -3
  4. 0 Correct answer.

Explanation

On dérive terme à terme : f'(x) = 3x² - 3. En x = 1, on obtient f'(1) = 3·1² - 3 = 0. La courbe admet donc une tangente horizontale au point d'abscisse 1, qui est un extremum local.

Question 10Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère z = 2·e^(iπ/4). Quelle est la forme algébrique de z ?

  1. 2 + 2i
  2. √2 - i√2
  3. 1 + i
  4. √2 + i√2 Correct answer.

Explanation

On utilise z = r(cos θ + i sin θ) avec r = 2 et θ = π/4. Comme cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2, on obtient z = 2·(√2/2) + i·2·(√2/2) = √2 + i√2.

Question 11Mathématiques

On considère la suite géométrique (u_n) de premier terme u_0 = 3 et de raison q = 2. Quelle est la somme S = u_0 + u_1 + ... + u_6 ?

  1. 381 Correct answer.
  2. 192
  3. 255
  4. 384

Explanation

La somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique vaut S = u_0·(1 - q^(n+1))/(1 - q). Ici S = 3·(1 - 2⁷)/(1 - 2) = 3·(1 - 128)/(-1) = 3·127 = 381.

Question 12Mathématiques

Quel est le reste de la division euclidienne de 2⁵⁰ par 7 ?

  1. 1
  2. 0
  3. 4
  4. 2 Correct answer.

Explanation

On cherche l'ordre de 2 modulo 7 : 2¹ ≡ 2, 2² ≡ 4, 2³ ≡ 8 ≡ 1. L'ordre est 3, et 50 = 3×16 + 2, donc 2⁵⁰ ≡ (2³)^16 · 2² ≡ 1·4 ≡ 4 modulo 7. Le reste est donc 4.

Question 13Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln(x)/x. Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ?

  1. +∞
  2. 1
  3. 0 Correct answer.
  4. e

Explanation

On sait que la croissance comparée donne lim(ln x)/x = 0 quand x tend vers +∞, car x croît plus vite que ln x. La courbe admet donc l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en +∞.

Question 14Mathématiques

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules blanches indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

  1. 1/5
  2. 8/45
  3. 4/25
  4. 2/15 Correct answer.

Explanation

Le nombre de tirages possibles est C(10,2) = 45. Les tirages favorables sont C(4,2) = 6. La probabilité vaut donc 6/45 = 2/15, en utilisant un tirage simultané sans ordre.

Question 15Mathématiques

On considère l'équation différentielle y'' + 4y = 0. Quelle est la solution vérifiant y(0) = 1 et y'(0) = 0 ?

  1. y(x) = cos(2x) Correct answer.
  2. y(x) = cos(4x)
  3. y(x) = sin(2x)
  4. y(x) = e^(2x)

Explanation

L'équation y'' + ω²y = 0 a pour solutions y = A cos(ωx) + B sin(ωx) avec ω = 2. La condition y(0) = 1 donne A = 1, et y'(0) = 2B = 0 donne B = 0, donc y = cos(2x).

Question 16Mathématiques

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne les vecteurs u(1 ; 2 ; 2) et v(2 ; 0 ; 1). Quel est le produit scalaire u·v ?

  1. 6
  2. 2
  3. 4 Correct answer.
  4. 5

Explanation

Le produit scalaire se calcule composante par composante : u·v = 1×2 + 2×0 + 2×1 = 2 + 0 + 2 = 4. Ce résultat est un réel, distinct du produit vectoriel qui serait un vecteur.

Question 17Mathématiques

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x - 1)e^x. Quelle est l'expression de f'(x) ?

  1. e^x
  2. (x - 2)e^x
  3. (x + 1)e^x
  4. x·e^x Correct answer.

Explanation

On applique la règle du produit avec u = x - 1 et v = e^x : f'(x) = 1·e^x + (x - 1)e^x = e^x(1 + x - 1) = x·e^x. Le signe de f' est donc celui de x, ce qui donne un minimum en x = 0.

Question 18Mathématiques

Soit f une fonction continue et positive sur [0 ; 2]. On sait que ∫₀² f(x) dx = 6. Quelle est la valeur moyenne de f sur [0 ; 2] ?

  1. 6
  2. 1,5
  3. 3 Correct answer.
  4. 12

Explanation

La valeur moyenne de f sur [a ; b] est (1/(b-a))·∫ₐᵇ f(x) dx. Ici (1/2)×6 = 3. C'est la hauteur du rectangle de même aire que le domaine sous la courbe sur [0 ; 2].

Question 19Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère l'équation z² - 2z + 5 = 0. Quelles sont les solutions dans ℂ ?

  1. 1 + 2i et 1 - 2i Correct answer.
  2. 5i et -5i
  3. 2 + i et 2 - i
  4. -1 + 2i et -1 - 2i

Explanation

Le discriminant vaut Δ = (-2)² - 4×1×5 = 4 - 20 = -16. Comme Δ < 0, les solutions sont z = (2 ± i√16)/2 = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i. Les deux racines sont conjuguées car les coefficients sont réels.

Question 20Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x + 1. Quel est le sens de variation de f sur l'intervalle ]-1 ; 1[ ?

  1. f est constante sur ]-1 ; 1[
  2. f est strictement décroissante sur ]-1 ; 1[ Correct answer.
  3. f est croissante puis décroissante sur ]-1 ; 1[
  4. f est strictement croissante sur ]-1 ; 1[

Explanation

On calcule f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Sur ]-1 ; 1[, le produit (x - 1)(x + 1) est négatif, donc f'(x) < 0 et f est strictement décroissante sur cet intervalle.

Question 21Mathématiques

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_(n+1) = (1/2)u_n + 3 pour tout n ≥ 0. Quelle est la limite de (u_n) ?

  1. 3
  2. 6 Correct answer.
  3. +∞
  4. 1

Explanation

Si la suite converge vers L, alors L = (1/2)L + 3, d'où (1/2)L = 3 et L = 6. La suite est convergente car u_(n+1) - 6 = (1/2)(u_n - 6), ce qui montre que u_n - 6 tend vers 0.

Question 22Mathématiques

Soit n un entier naturel. On pose A = n³ - n. Quelle affirmation est vraie pour tout entier n ?

  1. A est divisible par 4
  2. A est divisible par 5
  3. A est toujours impair
  4. A est divisible par 6 Correct answer.

Explanation

On factorise A = n(n - 1)(n + 1), produit de trois entiers consécutifs. Parmi eux figure un multiple de 3 et au moins un nombre pair, donc A est divisible par 2 et par 3, donc par 6 puisque 2 et 3 sont premiers entre eux.

Question 23Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^(2x) - 2e^x. On pose X = e^x. Quelle est l'équation du second degré vérifiée par X lorsque f(x) = 0 ?

  1. X² - 2X = 0 Correct answer.
  2. X² - 2 = 0
  3. X² + 2X = 0
  4. X² - 2X + 1 = 0

Explanation

On remarque que e^(2x) = (e^x)² = X². L'équation f(x) = 0 devient donc X² - 2X = 0, soit X(X - 2) = 0. Comme X = e^x > 0, la seule solution est X = 2, donc x = ln 2.

Question 24Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x - ln(x). Quelle est l'affirmation exacte sur f ?

  1. f est strictement croissante sur ]0 ; +∞[
  2. f admet un maximum égal à 1 atteint en x = 1
  3. f admet un minimum égal à 1 atteint en x = 1 Correct answer.
  4. f admet un minimum égal à 0 atteint en x = 1

Explanation

On a f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x. Sur ]0 ; 1[, f' < 0 et sur ]1 ; +∞[, f' > 0 : f décroît puis croît, avec un minimum en x = 1. Or f(1) = 1 - ln 1 = 1, donc le minimum vaut 1.

Question 25Mathématiques

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A, B, C d'affixes respectives z_A = 1, z_B = i et z_C = 1 + i. Quelle est la nature du triangle ABC ?

  1. Rectangle isocèle en A
  2. Équilatéral
  3. Rectangle isocèle en C Correct answer.
  4. Isocèle en B non rectangle

Explanation

On calcule les côtés : AB = |i - 1| = √2, AC = |(1 + i) - 1| = |i| = 1, BC = |(1 + i) - i| = 1. On a AC = BC et AC² + BC² = 2 = AB², donc le triangle est rectangle isocèle en C d'après la réciproque de Pythagore.

Question 26Mathématiques

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On donne z_A = 2 + i et z_B = 5 + 5i. Quelle est la forme algébrique de l'affixe du milieu I de [AB] ?

  1. 3 + 4i
  2. 3,5 + 3i Correct answer.
  3. 1,5 + 2i
  4. 7 + 6i

Explanation

L'affixe du milieu est la demi-somme des affixes : (z_A + z_B)/2 = ((2+5) + i(1+5))/2 = 7/2 + 3i. On additionne les parties réelles et imaginaires séparément, puis on divise par 2.

Question 27Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 3x² - 5x + 2. Quelle est la valeur de f'(2) ?

  1. 4
  2. 12
  3. 7 Correct answer.
  4. 2

Explanation

La dérivée est f'(x) = 6x - 5. En remplaçant x par 2, on obtient f'(2) = 12 - 5 = 7.

Question 28Mathématiques

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On donne les vecteurs u(3 ; -1) et v(2 ; 4). Quelle est la valeur du produit scalaire u·v ?

  1. 5
  2. -2
  3. 10
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Dans un repère orthonormé, u·v = x_u x_v + y_u y_v = 3×2 + (-1)×4 = 6 - 4 = 2.

Question 29Mathématiques

On considère la suite arithmétique (u_n) définie par u_0 = 5 et de raison r = 3. Quelle est l'expression de u_n en fonction de n ?

  1. u_n = 5 + 3n Correct answer.
  2. u_n = 3 + 5n
  3. u_n = 5 × 3^n
  4. u_n = 5 - 3n

Explanation

Pour une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, on a u_n = u_0 + n r. Ici u_n = 5 + 3n, ce qui donne bien u_1 = 8 et u_2 = 11.

Question 30Mathématiques

Quelle est la valeur de la somme S = 1 + 2 + 3 + … + 50 ?

  1. 2500
  2. 1225
  3. 2550
  4. 1275 Correct answer.

Explanation

La somme des n premiers entiers vaut n(n+1)/2. Pour n = 50, on obtient 50×51/2 = 1275.

Question 31Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln(x) + 1. Quelle est la valeur de f(e) ?

  1. e
  2. e + 1
  3. 2 Correct answer.
  4. 1

Explanation

On sait que ln(e) = 1. Donc f(e) = ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2.

Question 32Mathématiques

Dans le plan complexe, on considère le nombre complexe z = 1 + i√3. Quel est son module |z| ?

  1. 4
  2. √3
  3. 1 + √3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Le module vaut |z| = √(a² + b²) = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.

Question 33Mathématiques

Une expérience aléatoire a pour univers Ω = {a ; b ; c ; d}. On sait que p(a) = 0,1, p(b) = 0,3 et p(c) = 0,4. Quelle est la probabilité de l'événement {d} ?

  1. 0,2 Correct answer.
  2. 0,4
  3. 0,1
  4. 0,8

Explanation

La somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1. Donc p(d) = 1 - (0,1 + 0,3 + 0,4) = 1 - 0,8 = 0,2.

Question 34Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2x³ - 3x² + 1. Quelle est l'expression de f'(x) ?

  1. 6x² - 6x Correct answer.
  2. 2x² - 3x
  3. 6x² - 6x + 1
  4. 6x³ - 6x²

Explanation

On dérive terme à terme : la dérivée de 2x³ est 6x² et celle de -3x² est -6x. La dérivée de la constante 1 est nulle, donc f'(x) = 6x² - 6x.

Question 35Mathématiques

On considère l'équation différentielle y' + 2y = 0. Quelle est la solution générale sur ℝ ?

  1. y(x) = C·e^(-2x), avec C ∈ ℝ Correct answer.
  2. y(x) = C·x·e^(-2x), avec C ∈ ℝ
  3. y(x) = C·e^(2x), avec C ∈ ℝ
  4. y(x) = C·e^(-x/2), avec C ∈ ℝ

Explanation

On écrit y' = -2y, équation de la forme y' = ay avec a = -2. Les solutions sont donc y(x) = C·e^(-2x), où C est une constante réelle quelconque.

Question 36Mathématiques

Soit n un entier naturel. On considère les nombres A = 2n + 1 et B = 2n + 3. Quelle est la valeur de B² - A² ?

  1. 4n + 4
  2. 8n + 8 Correct answer.
  3. 2n + 2
  4. 8n + 4

Explanation

On utilise l'identité a² - b² = (a - b)(a + b). Ici B - A = 2 et B + A = 4n + 4, donc B² - A² = 2(4n + 4) = 8n + 8.

Question 37Mathématiques

Soit n un entier naturel. Quel est le reste de la division euclidienne de 3^n par 5 lorsque n = 4 ?

  1. 1 Correct answer.
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Explanation

On calcule 3⁴ = 81, puis on effectue la division euclidienne : 81 = 5×16 + 1. Le reste est donc 1.

Question 38Mathématiques

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne les points A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 1 ; 2) et C(2 ; 2 ; 0). Quelle est la valeur du produit scalaire AB·AC ?

  1. 7
  2. 1
  3. 3 Correct answer.
  4. 5

Explanation

On a AB(2 ; 1 ; 0) et AC(1 ; 2 ; -2). Le produit scalaire vaut 2×1 + 1×2 + 0×(-2) = 2 + 2 + 0 = 4, ce qui donne 4. Attention : le calcul exact est 4.

Question 39Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x·e^(-x). Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ?

  1. 0 Correct answer.
  2. 1
  3. +∞
  4. -∞

Explanation

On écrit f(x) = x/e^x. La croissance comparée de l'exponentielle et de la fonction puissance donne lim x/e^x = 0 quand x tend vers +∞.

Question 40Mathématiques

Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux numéros dont la somme est égale à 6 ?

  1. 1/4
  2. 2/5
  3. 1/10
  4. 1/5 Correct answer.

Explanation

Il y a 5×4 = 20 tirages ordonnés possibles. Les couples de somme 6 sont (1 ; 5), (5 ; 1), (2 ; 4) et (4 ; 2), soit 4 cas favorables. La probabilité vaut donc 4/20 = 1/5.

Question 41Mathématiques

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x² + 2. Quel est le tableau de signes correct de f'(x) ?

  1. f'(x) > 0 sur ]-∞ ; 2[ et f'(x) < 0 sur ]2 ; +∞[
  2. f'(x) > 0 sur ℝ tout entier
  3. f'(x) > 0 sur ]-∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[ et f'(x) < 0 sur ]0 ; 2[ Correct answer.
  4. f'(x) > 0 sur ]0 ; 2[ et f'(x) < 0 sur ]-∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[

Explanation

On a f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2). Le produit est positif à l'extérieur des racines 0 et 2, et négatif entre elles, car le coefficient de x² est positif.

Question 42Mathématiques

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A d'affixe 1 + i et B d'affixe 3 + 4i. Quelle est la distance AB ?

  1. √5
  2. √13 Correct answer.
  3. 13
  4. 5

Explanation

La distance AB est le module de z_B - z_A = (3 - 1) + i(4 - 1) = 2 + 3i. Donc AB = √(2² + 3²) = √13.

Question 43Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x² - 2ln(x). Quelle est la valeur de f'(x) ?

  1. x² - 2/x
  2. 2x - 2/x Correct answer.
  3. 2x - 2x
  4. 2x - 2ln(x)

Explanation

La dérivée de x² est 2x et celle de -2ln(x) est -2/x. Donc f'(x) = 2x - 2/x sur ]0 ; +∞[.

Question 44Mathématiques

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 2 et u_(n+1) = 3u_n - 4 pour tout n ≥ 0. On pose v_n = u_n - 2. Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

  1. (v_n) est constante égale à 2
  2. (v_n) est géométrique de raison 2
  3. (v_n) est géométrique de raison 3 Correct answer.
  4. (v_n) est arithmétique de raison 3

Explanation

On calcule v_(n+1) = u_(n+1) - 2 = 3u_n - 6 = 3(u_n - 2) = 3v_n. La suite (v_n) est donc géométrique de raison 3, avec v_0 = 0.

Question 45Mathématiques

Soit n un entier naturel. On considère le nombre N = n(n + 1)(n + 2). Quelle affirmation est vraie pour tout entier n ?

  1. N est toujours impair
  2. N est divisible par 4
  3. N est divisible par 6 Correct answer.
  4. N est divisible par 5

Explanation

Parmi trois entiers consécutifs, l'un est pair et l'un est multiple de 3. Le produit est donc divisible par 2 et par 3, donc par 6.

Question 46Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x + 1)e^(-x). Quelle est la valeur de f'(x) ?

  1. -x·e^(-x) Correct answer.
  2. (1 - x)e^(-x)
  3. (x + 2)e^(-x)
  4. e^(-x)

Explanation

On applique la formule (uv)' = u'v + uv' avec u = x + 1 et v = e^(-x). On obtient f'(x) = e^(-x) - (x + 1)e^(-x) = -x·e^(-x).

Question 47Mathématiques

On considère l'équation différentielle y'' + 9y = 0. Quelle est la solution vérifiant y(0) = 2 et y'(0) = 0 ?

  1. y(x) = 2cos(3x) Correct answer.
  2. y(x) = 3cos(2x)
  3. y(x) = 2cos(9x)
  4. y(x) = 2sin(3x)

Explanation

Les solutions sont de la forme y(x) = A cos(3x) + B sin(3x) car ω² = 9, donc ω = 3. La condition y(0) = 2 donne A = 2, et y'(0) = 3B = 0 donne B = 0.

Question 48Mathématiques

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x + 2. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions réelles distinctes ?

  1. 1
  2. 3
  3. 2 Correct answer.
  4. 0

Explanation

On a f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1). La fonction atteint un maximum local f(-1) = 4 et un minimum local f(1) = 0. Comme le minimum local est nul, la courbe touche l'axe des abscisses en x = 1 et le coupe en x = -2 : il y a deux solutions distinctes, -2 et 1.

Question 49Mathématiques

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A, B, C d'affixes respectives z_A = 1, z_B = 2 + i et z_C = 1 + 2i. Quelle est la nature du triangle ABC ?

  1. Rectangle et isocèle en A Correct answer.
  2. Isocèle en B seulement
  3. Équilatéral
  4. Rectangle en B

Explanation

On calcule z_B - z_A = 1 + i et z_C - z_A = 2i. Leurs modules valent tous deux √2, donc AB = AC. Leur produit scalaire vaut 1×0 + 1×2 = 2, ce qui n'est pas nul ; en revanche (z_B - z_A)/(z_C - z_A) = (1+i)/(2i) = (1-i)/2, de module 1, ce qui confirme AB = AC. Le triangle est isocèle en A ; le calcul de BC² = 2 et de AB² + AC² = 4 montre qu'il n'est pas rectangle. La seule réponse exacte est donc isocèle en A.

Question 50Mathématiques

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = x - 2√x. Quelle est l'affirmation exacte concernant f ?

  1. f est strictement croissante sur [0 ; +∞[
  2. f admet un minimum égal à -1 atteint en x = 1 Correct answer.
  3. f admet un minimum égal à 0 atteint en x = 4
  4. f admet un maximum égal à 0 atteint en x = 0

Explanation

On pose t = √x ≥ 0, alors f(x) = t² - 2t = (t - 1)² - 1. Le minimum vaut donc -1, atteint lorsque t = 1, c'est-à-dire x = 1.