Mathématiques - analyse, algèbre et probabilités en série D
L'épreuve de mathématiques de la série D porte sur l'analyse (limites, continuité, dérivation, logarithmes et exponentielles, suites, primitives et intégrales), sur l'algèbre (nombres complexes, équations du second degré) ainsi que sur les probabilités et la géométrie de l'espace. Le correcteur note autant la justification que le résultat : un théorème cité sans vérification de ses hypothèses ne rapporte aucun point.
Le socle d'analyse à maîtriser
Sur les limites, on lève une indétermination par factorisation du terme dominant, par la quantité conjuguée ou par le taux d'accroissement ; il faut connaître les croissances comparées : ln x / x → 0 et xⁿ/eˣ → 0 quand x → +∞, x ln x → 0 quand x → 0⁺. La continuité sert à justifier l'existence d'une solution : le théorème des valeurs intermédiaires exige une fonction continue sur un intervalle fermé et un changement de signe strict ; l'unicité se prouve par la stricte monotonie. La dérivée d'une composée est (u∘v)' = v' × u'(v), et (ln u)' = u'/u pour u > 0. Une primitive se trouve en reconnaissant la forme u' × f(u) ; sinon on utilise l'intégration par parties en précisant clairement u, v, u' et v'.
Algèbre et probabilités
Pour les nombres complexes, on passe de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle, on calcule module et argument, et l'on exploite la formule de Moivre pour les puissances. En probabilités, l'arbre pondéré reste l'outil central : probabilité conditionnelle P(B|A) = P(A∩B)/P(A), indépendance, formule des probabilités totales, puis loi binomiale de paramètres n et p avec P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k).
Exemple travaillé
Calculons I = ∫₁^e (ln x)/x dx. On pose u = ln x, donc du = dx/x ; les bornes deviennent u(1) = 0 et u(e) = 1. L'intégrale s'écrit alors I = ∫₀¹ u du = [u²/2]₀¹ = 1/2. La justification du changement de variable - u dérivable, de dérivée continue, strictement croissante sur [1 ; e] - fait partie de la note.
Les pièges qui coûtent des points
- Écrire ln(a + b) = ln a + ln b, ou oublier que le domaine de ln est ]0 ; +∞[ : toute étude commence par l'ensemble de définition.
- Dresser un tableau de signes de f'(x) sans avoir factorisé l'expression au préalable.
- Oublier la constante d'une primitive, ou confondre primitive et valeur numérique d'une intégrale.
- Conclure à l'existence d'une solution sans avoir montré la continuité et le changement de signe exigés par le théorème des valeurs intermédiaires.
- Mélanger degrés et radians dans les fonctions trigonométriques, ou recopier un résultat de calculatrice sans rédiger la démarche.