Le tableau de données et la moyenne trompeuse
Une étude porte sur les notes de mathématiques de deux classes de terminale d'un lycée. La classe A compte 30 élèves, moyenne 12/20, écart-type 2. La classe B compte 10 élèves, moyenne 14/20, écart-type 5. Le proviseur annonce : « la moyenne du lycée est de 13/20 ». Un professeur affirme que la classe B est « meilleure » et propose de généraliser sa méthode à tout l'établissement. Un élève de la classe A objecte que l'écart-type de B est très élevé.
1. La moyenne de 13/20 annoncée par le proviseur est-elle exacte ? Calculer la moyenne pondérée et interpréter.
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La moyenne du lycée est la moyenne pondérée par les effectifs :
$$\bar{x} = \frac{30 \times 12 + 10 \times 14}{40} = \frac{360 + 140}{40} = \frac{500}{40} = 12{,}5$$
La moyenne réelle est 12,5/20, et non 13/20. L'erreur vient probablement d'une moyenne simple des deux moyennes : $(12+14)/2 = 13$, ce qui surestime le résultat car la classe A, plus nombreuse et plus faible, pèse davantage.
Interprétation : toute moyenne d'un ensemble hétérogène doit être pondérée par les effectifs. L'annonce de 13/20 est donc inexacte et flatteuse.
2. Peut-on conclure que la classe B est « meilleure » ? Discuter à partir des moyennes et des écarts-types.
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Sur la moyenne : B (14) est supérieure à A (12), mais l'écart de 2 points doit être mis en regard de la dispersion.
Sur l'écart-type : A a un écart-type de 2 (résultats homogènes) ; B a un écart-type de 5 (résultats très dispersés). Un écart-type de 5 pour une moyenne de 14 signifie que des élèves de B peuvent être très en dessous de la moyenne : l'intervalle $[\bar{x}-\sigma ; \bar{x}+\sigma] = [9 ; 19]$ est très large, alors que pour A il vaut $[10 ; 14]$.
Conclusion : on ne peut pas dire que B est « meilleure » globalement. Sa moyenne est plus élevée mais son hétérogénéité est forte : la classe B contient probablement à la fois d'excellents et de très faibles élèves. Généraliser la méthode de B à tout l'établissement serait imprudent : on généraliserait une pratique dont on ne connaît pas les effets sur les élèves faibles, et sur un effectif de seulement 10 élèves (échantillon réduit, résultats fragiles).
Rigueur : comparer des moyennes sans regarder la dispersion et les effectifs conduit à une conclusion abusive.