Transit und Radialgeschwindigkeit: Ist der Planet wirklich ein Gesteinsplanet?
Der K-Zwerg HD 217411 (M = 0,70 M☉, R = 0,70 R☉, T_eff = 4500 K) wird seit zwei Jahren photometrisch und spektroskopisch überwacht. Sternmasse und -radius seien aus Spektraltyp und Leuchtkraft mit 5 % Unsicherheit bestimmt. Die Lichtkurve zeigt alle 8,20 Tage einen flachen Rückgang um 0,30 % der Helligkeit; der Transit dauert 2,6 Stunden, ein zweiter, tieferer Transit fehlt. Die Radialgeschwindigkeit des Sterns variiert sinusförmig mit einer Halbamplitude von 12 m/s. Die Bahn wird als kreisförmig genähert, die Planetenmasse als klein gegen die Sternmasse. Ein Preprint folgert: „Ein Gesteinsplanet von etwa vier Erdradien, der seinen Stern in der habitablen Zone umkreist.“ Eine Arbeitsgruppe bezweifelt beide Aussagen und verlangt eine unabhängige Auswertung. Ihnen liegen keine weiteren Daten vor; Sie sollen ausschließlich aus den genannten Messwerten argumentieren und die Unsicherheiten benennen, die Sie ohne zusätzliche Beobachtungen nicht kontrollieren können.
1. Bestimmen Sie aus der Transittiefe und dem Sternradius den Planetenradius sowie aus der Periode die große Halbachse. Prüfen Sie mit der Gleichgewichtstemperatur, ob die Bahn in der habitablen Zone liegt.
Read the worked answer
Transittiefe: δ = (R_p/R_*)², also R_p/R_* = √0,0030 = 0,0548. Mit R_* = 0,70 · 6,96·10^8 m = 4,87·10^8 m folgt R_p = 0,0548 · 0,70 R☉ = 0,0384 R☉; mit R☉ = 109,2 R_E ergibt das R_p ≈ 4,2 R_E ≈ 2,7·10^7 m. Große Halbachse aus dem dritten Kepler-Gesetz: a³ = G M_* P²/(4π²). Mit P = 8,20 d = 7,09·10^5 s und M_* = 1,39·10^30 kg erhält man a³ = (6,67·10^-11 · 1,39·10^30 · (7,09·10^5)²)/(4π²) ≈ 1,18·10^30 m³, also a ≈ 1,06·10^10 m ≈ 0,071 AU. Gleichgewichtstemperatur bei Albedo 0: T_eq = T_* · √(R_*/(2a)) = 4500 K · √(4,87·10^8/(2,12·10^10)) = 4500 K · 0,152 ≈ 684 K; mit Albedo 0,3 sind es etwa 625 K. Das ist weit über dem Gefrierpunkt, und die habitable Zone um einen 4500-K-Stern liegt eher bei 0,2–0,5 AU. Die Bahn ist also zu heiß; die Behauptung „in der habitablen Zone“ ist falsch. Wegen des 5-%-Fehlers in R_* ist T_eq nur auf etwa 2,5 % genau, was an der Schlussfolgerung nichts ändert.
2. Berechnen Sie aus der Radialgeschwindigkeit die Mindestmasse und die mittlere Dichte des Planeten. Beurteilen Sie die Aussage „Gesteinsplanet“.
Read the worked answer
Für M_p << M_* gilt M_p sin i = K · (M_² P/(2πG))^(1/3). Mit K = 12 m/s, M_ = 1,39·10^30 kg, P = 7,09·10^5 s und G = 6,67·10^-11 ergibt die Klammer (1,93·10^60 · 7,09·10^5 / 4,19·10^-10)^(1/3) = (3,27·10^75)^(1/3) ≈ 1,48·10^25 kg. Damit ist M_p sin i ≈ 12 · 1,48·10^25 kg = 1,78·10^26 kg ≈ 30 Erdmassen ≈ 0,094 Jupitermassen. Die mittlere Dichte folgt aus ρ = M/((4/3)πR³) mit R = 2,67·10^7 m: V ≈ 7,97·10^22 m³, also ρ ≈ 2,2·10^3 kg/m³ = 2,2 g/cm³. Zum Vergleich: Erde 5,5 g/cm³, Mars 3,9 g/cm³, Neptun 1,6 g/cm³. Bei 4,2 R_E und reiner Gesteinszusammensetzung (Erddichte) wäre die Masse etwa 2,5-mal größer, also rund 75 Erdmassen. Die gemessene Masse ist für einen reinen Gesteinsplaneten zu klein; die niedrige Dichte spricht für einen erheblichen Anteil an Wasser, Eis oder einer Hülle aus leichten Gasen (Mini-Neptun). Da sin i ≤ 1, ist 30 M_E eine Mindestmasse; bei einem Transit ist sin i jedoch nahe 1, die Korrektur also klein (<1 %). Der 5-%-Fehler im Radius wirkt dreifach auf die Dichte; deren Unsicherheit liegt bei etwa 15 %.
3. Beurteilen Sie, welche der beiden Behauptungen durch die Daten besser gestützt ist, und nennen Sie mindestens drei systematische Effekte, die die Auswertung verzerren könnten.
Read the worked answer
Die HZ-Behauptung ist durch T_eq klar widerlegt: 684 K (bzw. 625 K mit Albedo) schließen flüssiges Wasser an der Oberfläche aus, wenn man eine erdähnliche Atmosphäre voraussetzt; die habitable Zone um einen 4500-K-Stern liegt bei 0,2–0,5 AU, nicht bei 0,07 AU. Die Radiusangabe „vier Erdradien“ ist mit den Daten verträglich, die daraus abgeleitete Deutung als Gesteinsplanet aber nicht. Systematische Effekte: (1) Sternradius und -masse stammen aus Spektraltyp und Leuchtkraft; 5 % Fehler in R_* bedeuten 5 % in R_p, aber etwa 15 % in der Dichte. (2) Eine unaufgelöste Begleitquelle in der Photometrieapertur verdünnt die Transittiefe und lässt R_p zu klein erscheinen. (3) Sternflecken erzeugen RV-Jitter in der Größenordnung von 10 m/s und können die Halbamplitude von 12 m/s verfälschen. (4) Eine exzentrische Bahn verändert Dauer und Form des Transits, sodass die Kreisbahnannahme R_p und a systematisch verschiebt. (5) Limb-Darkening und ein streifender Transit (Impact-Parameter nahe 1) verändern die abgeleitete Tiefe. Ohne zusätzliche Photometrie in mehreren Wellenlängen, Zentrumstransitzeiten und Spektren lässt sich keine der beiden Aussagen absichern.