Cepheid und Hubble-Fluss: Wie gut lässt sich H0 aus einer Galaxie bestimmen?
Eine Spiralgalaxie zeigt im optischen Spektrum eine Rotverschiebung z = 0,0042, die als Fluchtgeschwindigkeit gedeutet wird. In ihr wird ein klassischer Cepheid mit einer Periode von 12,0 Tagen gefunden. Seine scheinbare Helligkeit im V-Band beträgt m_V = 28,10 mag, die interstellare Extinktion in dieser Richtung A_V = 0,55 mag. Die Perioden-Leuchtkraft-Relation sei M_V = -2,80·log10(P/d) - 1,40. Nehmen Sie H0 = 70 km s^-1 Mpc^-1 an und vernachlässigen Sie relativistische Effekte. Ein Übersichtsartikel nennt die Galaxie „ein ideales Objekt, um H0 auf wenige Prozent genau zu bestimmen“, weil die Cepheid so präzise gemessen sei. Ein Kollege entgegnet, die Galaxie sei dafür denkbar ungeeignet. Sie sollen beide Positionen prüfen und die Entfernung sowohl über die Cepheid als auch über die Hubble-Beziehung bestimmen. Die Cepheid sei eindeutig als klassische Cepheid identifiziert, nicht als Typ-II-Cepheid; die Extinktion sei aus dem Farbenexzess mit einer Unsicherheit von 0,10 mag bestimmt.
1. Berechnen Sie aus Periode, scheinbarer Helligkeit und Extinktion die Entfernung der Galaxie. Diskutieren Sie, welcher Eingangswert den größten Einfluss auf das Ergebnis hat.
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M_V = −2,80 · log10(12,0) − 1,40 = −2,80 · 1,0792 − 1,40 = −3,022 − 1,40 = −4,42 mag. Das Entfernungsmodul lautet μ = m_V − A_V − M_V = 28,10 − 0,55 + 4,42 = 31,97 mag. Aus μ = 5 log(d/pc) − 5 folgt log(d/pc) = (μ + 5)/5 = 7,394 und damit d = 10^7,394 pc ≈ 2,48·10^7 pc = 24,8 Mpc. Der größte numerische Hebel ist die Extinktion: eine Änderung von A_V um 0,10 mag verschiebt das Entfernungsmodul um 0,10 mag und die Distanz um etwa 4,7 %. Die Perioden-Leuchtkraft-Relation selbst hat eine Nullpunktunsicherheit von typischerweise 0,1–0,2 mag, was 5–10 % Distanz entspricht; eine Metallizitätsabhängigkeit kommt hinzu. Außerdem würde eine Verwechslung mit einer Typ-II-Cepheid die Leuchtkraft um mehr als 1 mag verändern - laut Vorgabe ist die Klassifikation aber gesichert. Die Periode ist mit 12,0 d sehr präzise und trägt praktisch nichts zur Fehlerbilanz bei.
2. Bestimmen Sie die Hubble-Distanz und die Pekuliargeschwindigkeit der Galaxie. Prüfen Sie, ob sich H0 aus dieser einen Galaxie auf wenige Prozent genau bestimmen lässt.
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Die Hubble-Beziehung liefert mit z = 0,0042 und H0 = 70 km s^-1 Mpc^-1: d_H = c z/H0 = (299792 · 0,0042)/70 Mpc = 1259/70 Mpc ≈ 18,0 Mpc. Die Cepheid ergibt 24,8 Mpc, also 38 % mehr. Als Pekuliargeschwindigkeit erhält man v_pec = c z − H0 · d_Cep = 1259 − 70 · 24,8 = 1259 − 1736 ≈ −477 km/s; die Galaxie bewegt sich also zusätzlich mit fast 500 km/s auf uns zu (bzw. fällt in einen Haufen). Bei 18 Mpc entspricht 1 Mpc genau 70 km/s; 477 km/s sind ein Distanzäquivalent von 6,8 Mpc, also mehr als ein Drittel der Hubble-Distanz. Eine einzige Galaxie ergäbe H0 = c z/d = 1259/24,8 ≈ 51 km s^-1 Mpc^-1, also 27 % zu niedrig. Die Aussage „ideales Objekt für H0 auf wenige Prozent“ ist damit falsch: Bei so kleinen Entfernungen ist die Pekuliargeschwindigkeit mit dem Hubble-Fluss vergleichbar; man braucht viele Galaxien, um die Pekuliarbewegungen herauszumitteln, oder größere Entfernungen. Der Kollege hat recht. Zur Kontrolle: Läge die Galaxie bei 18 Mpc, wäre der Cepheid m_V = M_V + A_V + 5 log(18·10^6) − 5 ≈ −4,42 + 0,55 + 36,28 − 5 = 27,41 mag, also 0,69 mag heller als beobachtet.
3. Beurteilen Sie die beiden Positionen und nennen Sie die Voraussetzungen, unter denen H0 mit Cepheiden tatsächlich auf wenige Prozent genau bestimmt werden kann.
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Beide Extreme sind falsch. Die Cepheid ist präzise messbar, aber die daraus folgende Distanz von 24,8 Mpc ist mit mindestens drei systematischen Unsicherheiten behaftet: Extinktion (0,1 mag → 5 %), Nullpunkt und Metallizität der PL-Relation (zusammen 10–15 %) sowie eine mögliche Beimischung nicht aufgelöster Sterne in der Photometrie, die den Cepheid heller erscheinen lässt und die Distanz unterschätzt. Entscheidend ist aber nicht die Messgenauigkeit, sondern die Astrophysik der Galaxie: Bei z = 0,0042 ist die Hubble-Geschwindigkeit nur 1259 km/s; eine Pekuliargeschwindigkeit von 300–500 km/s, wie sie in Gruppen und Haufen üblich ist, verfälscht H0 um 25–40 %. Die Galaxie ist also kein „ideales“ Objekt für H0, sondern ein typischer Fall, in dem man die Pekuliarbewegung kennen muss. Für H0 auf wenige Prozent braucht man ein Ensemble von Galaxien mit z > 0,02–0,03, in dem die Pekuliarbewegungen herausgemittelt werden, eine einheitliche Kalibrierung der Cepheiden (gleiches Photometriesystem, Extinktionskorrektur aus mehreren Bändern) und eine unabhängige Ankerkette (Parallaxe, Maser, LMC).