S2 und Sagittarius A*: Masse, Dichte und der Beweis des Schwarzen Lochs
Die Sterne im Zentrum der Milchstraße bewegen sich um eine gemeinsame, im Radiobereich sichtbare Position. Für den Stern S2 wurde über 25 Jahre eine Kepler-Ellipse mit einer Periode von 16,0 Jahren und einer großen Halbachse von 0,125 Bogensekunden bestimmt; die Exzentrizität beträgt 0,88. Die Entfernung zum galaktischen Zentrum wird aus einer geometrischen Parallaxe zu 8,2 kpc angenommen. Die Position von S2 fällt mit der kompakten Radioquelle Sagittarius A* zusammen, deren Durchmesser bei 1,3 mm Wellenlänge kleiner als 50 Mikrobogensekunden ist. Ein Übersichtsartikel schreibt: „Damit ist bewiesen, dass sich dort ein Schwarzes Loch mit vier Millionen Sonnenmassen befindet.“ Sie sollen die Masse nachrechnen, die Konsequenzen für die Dichte prüfen und beurteilen, welche Teile der Schlussfolgerung durch die Bahndaten allein gestützt werden und welche zusätzliche Information benötigt wird.
1. Rechnen Sie die große Halbachse in astronomische Einheiten um und bestimmen Sie die Zentralmasse. Diskutieren Sie, welche Messgröße den größten Fehlerbeitrag liefert.
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Maßstab: 1“ bei 8,2 kpc entspricht 8200 AU; 0,125“ sind also a = 0,125 · 8200 AU = 1025 AU. Mit dem dritten Kepler-Gesetz in der Form M/M☉ = a³/P² (a in AU, P in Jahren) folgt M = 1025³/16,0² = 1,077·10^9/256 ≈ 4,21·10^6 M☉. Die Masse ist die innerhalb der Bahn eingeschlossene Masse; sie ist unabhängig von der Exzentrizität, weil die große Halbachse die Bahnenergie festlegt. Der Fehler wird vor allem von der Entfernung bestimmt: 8,2 kpc mit 5 % Unsicherheit verschiebt a um 5 % (linear) und M um 15 %; die Periode ist sehr präzise. Ein Fehler in der Entfernungsskala wirkt also direkt auf die Masse. Die Exzentrizität von 0,88 ändert die Form der Bahn, nicht aber die aus a und P folgende Gesamtmasse; sie ist für die Periheldistanz entscheidend.
2. Berechnen Sie Periheldistanz und Perihelgeschwindigkeit von S2 sowie den Schwarzschildradius der Zentralmasse. Beurteilen Sie, ob die Newton-Mechanik für die Bahn ausreicht.
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Perihel: r_p = a(1−e) = 1025 · 0,12 AU ≈ 123 AU ≈ 1,84·10^13 m. Mit GM = 4,21·10^6 · 1,327·10^20 m³/s² = 5,59·10^26 m³/s² folgt v_p = √(GM (2/r_p − 1/a)) = √(5,59·10^26 · (1,087·10^-13 − 6,52·10^-15)) m/s = √(5,59·10^26 · 1,022·10^-13) m/s ≈ 7,6·10^6 m/s ≈ 0,025 c. Der Schwarzschildradius wäre R_s = 2GM/c² = 2 · 5,59·10^26/(2,998·10^8)² m ≈ 1,24·10^10 m ≈ 0,083 AU ≈ 18 R☉. Das Perihel liegt also rund 1500 Schwarzschildradien entfernt; die Bahn ist dort noch gut newtonisch beschreibbar. Die allgemein-relativistische Periheldrehung beträgt bei S2 nur etwa 12 Bogenminuten pro Umlauf - klein, aber mit 25 Jahren Beobachtung messbar. Für die Masse genügt Newton; für die Aussage „Schwarzes Loch“ ist die ART nicht nötig, für den Nachweis der Raumkrümmung schon.
3. Beurteilen Sie die Aussage „Damit ist bewiesen, dass dort ein Schwarzes Loch mit vier Millionen Sonnenmassen ist“. Welche Beobachtungen tragen welche Teile der Schlussfolgerung?
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Die Bahn liefert sicher eine Zentralmasse von etwa 4,2·10^6 M☉ innerhalb von 123 AU. Das allein ist noch kein Beweis für ein Schwarzes Loch: Denkbar wäre auch ein sehr dichter Haufen aus Neutronensternen oder stellaren Schwarzen Löchern. Entscheidend ist die Kombination mit der Kompaktheit. 50 μas entsprechen bei 8,2 kpc etwa 0,41 AU; würde die Masse innerhalb dieses Radius sitzen, wäre die mittlere Dichte von der Größenordnung 10^4 kg/m³. Ein Haufen aus 4 Millionen Sternen oder Sternresten auf so engem Raum wäre dynamisch nicht stabil: Zweikörper-Streuung und Kollisionen würden ihn in sehr kurzer Zeit auflösen bzw. zu einem zentralen Objekt verschmelzen. Außerdem müsste die Masse unsichtbar sein; ein Haufen normaler Sterne wäre im Infraroten sichtbar. Zusätzlich sprechen die geringe Größe der Radioquelle, ihre Variabilität und die Tatsache, dass S2 die Perihelpassage ohne Störung übersteht, für ein einzelnes kompaktes Objekt. Die Aussage „bewiesen“ ist also etwas zu stark für die Bahndaten allein, aber durch die Kombination von Bahn, Radiointerferometrie und Dynamik sehr gut gestützt; unabhängige Prüfungen sind die Bahnen weiterer Sterne (S1, S8 …), die Massenverteilung der umgebenden Sterne und die direkte Abbildung des Schattens.