Flache Rotationskurve: Dunkle Materie oder überschätzte Leuchtkraft?
Für eine Spiralgalaxie in 20 Mpc Entfernung wird die Rotationsgeschwindigkeit des neutralen Wasserstoffs mit der 21-cm-Linie gemessen: Bei r = 5 kpc beträgt sie 220 km/s, bei r = 25 kpc ebenfalls 220 km/s. Die Leuchtkraft im B-Band wird aus der Photometrie zu L_B = 4,0·10^10 L☉ bestimmt und stammt fast vollständig aus dem Bereich r < 10 kpc. Die Neigung der Galaxie ist bekannt, die Geschwindigkeiten sind bereits auf die Galaxienebene projiziert; die Rotationskurve ist auf beiden Seiten symmetrisch. Ein Artikel behauptet: „Die flache Rotationskurve beweist, dass die Galaxie von einem Halo aus Dunkler Materie umgeben ist.“ Ein zweiter Artikel hält entgegen: „Die Beobachtung lässt sich auch ohne Dunkle Materie erklären, wenn man die Leuchtkraft überschätzt.“ Prüfen Sie beide Aussagen mit einer Massenbilanz und diskutieren Sie, welche zusätzlichen Beobachtungen den Streit entscheiden könnten.
1. Berechnen Sie die eingeschlossene Masse bei 5 kpc und bei 25 kpc. Welche Schlussfolgerung ergibt sich aus dem Vergleich der beiden Werte?
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Für eine Kreisbahn gilt M(r) = v² r/G. Mit v = 220 km/s = 2,2·10^5 m/s ist v² = 4,84·10^10 m²/s². Bei r = 5 kpc = 1,543·10^20 m: M = 4,84·10^10 · 1,543·10^20/6,67·10^-11 kg = 1,12·10^41 kg; mit M☉ = 1,99·10^30 kg sind das 5,6·10^10 M☉. Bei r = 25 kpc = 7,715·10^20 m: M = 4,84·10^10 · 7,715·10^20/6,67·10^-11 kg = 5,60·10^41 kg ≈ 2,8·10^11 M☉. Zwischen 5 und 25 kpc wächst die eingeschlossene Masse also um den Faktor 5, obwohl die Leuchtkraft in diesem Bereich praktisch nicht mehr zunimmt. Das ist die zentrale Diskrepanz. Zu beachten ist, dass M(r) nur die Masse innerhalb der jeweiligen Kugel angibt; die flache Kurve bedeutet, dass pro Radiusdekade immer mehr Masse hinzukommt, nicht dass die Massendichte konstant wäre.
2. Berechnen Sie, welche Rotationsgeschwindigkeit bei 25 kpc zu erwarten wäre, wenn die gesamte Masse bereits innerhalb von 5 kpc läge. Vergleichen Sie mit der Messung und erklären Sie die Form der Rotationskurve.
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Wäre die gesamte Masse bereits innerhalb von 5 kpc konzentriert, so gälte für r > 5 kpc die Kepler-Beziehung v ∝ r^-1/2, also v(25 kpc) = 220 km/s · √(5/25) = 220/2,236 ≈ 98 km/s. Gemessen werden aber 220 km/s, also mehr als das Doppelte. Das bedeutet: v² r ist konstant, also M(r) ∝ r - die Masse muss bis 25 kpc weiter anwachsen, und zwar um denselben Faktor 5 wie der Radius. Eine Verteilung, die nur der Leuchtkraft folgt (exponentiell abfallende Scheibe mit Skalenlänge von wenigen kpc), würde genau den Kepler-Abfall zeigen. Die Beobachtung verlangt daher entweder zusätzliche, nicht leuchtende Masse in einem ausgedehnten Halo oder eine Modifikation der Gravitationsdynamik. Der Vergleich 98 km/s gegen 220 km/s ist unabhängig von der Entfernungsbestimmung der Galaxie und damit ein besonders robustes Argument, weil nur das Verhältnis der Radien und Geschwindigkeiten eingeht.
3. Prüfen Sie die beiden Aussagen mit einer Massen-Leuchtkraft-Bilanz. Welche zusätzlichen Beobachtungen würden den Streit entscheiden?
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Massen-Leuchtkraft-Verhältnis: Bei 10 kpc ist M ≈ 1,1·10^11 M☉; mit L_B ≈ 4·10^10 L☉ ergibt sich M/L_B ≈ 2,8. Bei 25 kpc ist M/L_B ≈ 2,8·10^11/4,0·10^10 ≈ 7,0. Für eine normale Sternpopulation liegt M/L_B je nach Alter bei etwa 1–4; der Wert steigt mit dem Radius und überschreitet die stellare Erwartung deutlich. Die „Leuchtkraft überschätzt“-Erklärung greift nicht: Eine Überschätzung von L würde M/L noch größer machen; selbst ein Faktor 2 Unsicherheit in L lässt bei 25 kpc M/L ≈ 3,5–14, und vor allem kann keine Normierung der Leuchtkraft die Form der Rotationskurve erklären, weil das Licht zentral konzentriert ist, die Masse aber bis 25 kpc linear wächst. Gas (HI, Röntgen) macht typischerweise nur 10–20 % der Sterne aus und reicht nicht. MOND kann flache Rotationskurven mit einer modifizierten Beschleunigung beschreiben, scheitert aber auf Haufenskalen und bei der Massenverteilung; entscheidend wären unabhängige Massenmessungen: Gravitationslinsung (misst Masse unabhängig vom Licht), Röntgengas-Temperatur, Kinematik der Kugelsternhaufen und Zwergsatelliten sowie die 21-cm- und CO-Massenbilanz. Der Kern der ersten Aussage - ein ausgedehnter dunkler Halo - ist damit gut gestützt, aber „beweist“ ist zu stark, solange Alternativen nicht durch Linsung und Baryonenbilanz geprüft sind.