Modellwahl bei der Gewinnmaximierung: Produktionsmenge eines Betriebs
In der schriftlichen Abiturprüfung Mathematik (grundlegendes Anforderungsniveau, Bremen, Teil B mit Hilfsmitteln) bearbeitet ein Prüfling eine Aufgabe zur Gewinnmaximierung. Für ein Reinigungsmittel gilt im Definitionsbereich 0 ≤ x ≤ 60 die Gewinnfunktion G(x) = −0,02x³ + 1,5x² − 20x + 100; dabei ist x die Produktionsmenge in Tonnen und G der Gewinn in 100 €. Ein Mitschüler behauptet, die gewinnmaximale Menge liege bei x = 50, weil dort „der Gewinn pro Tonne am größten“ sei. Der Prüfling berechnet G′(x) = −0,06x² + 3x − 20 und findet die Nullstellen x ≈ 7,9 und x ≈ 42,1. Die zweite Ableitung lautet G″(x) = −0,12x + 3. Zusätzlich liegt ein Vorschlag vor, den Absatz mit einer Subvention von 5 € pro Tonne zu fördern. Die Klausur verlangt eine begründete Entscheidung, keine reine Rechnung.
1. Bestimme die gewinnmaximale Menge und beurteile die Behauptung des Mitschülers.
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Rechnung: G′(x) = −0,06x² + 3x − 20. Nullstellen: x² − 50x + 333,33 ≈ 0, also x ≈ 7,9 und x ≈ 42,1. Mit G″(x) = −0,12x + 3 gilt G″(7,9) ≈ 2,05 > 0 (lokales Minimum) und G″(42,1) ≈ −2,05 < 0 (lokales Maximum).
Randvergleich: G(0) = 100; G(42,1) ≈ 423,7; G(60) = −20. Das globale Maximum im Definitionsbereich liegt also bei x ≈ 42,1.
Beurteilung: Die Behauptung x = 50 ist falsch. Der Mitschüler verwechselt zwei verschiedene Größen: den Gewinn pro Tonne (Durchschnittsgewinn) und den Gesamtgewinn. Der Durchschnittsgewinn kann bei einer anderen Menge maximal sein als der Gesamtgewinn. Bei x = 50 beträgt G(50) = 350, also deutlich weniger als bei x ≈ 42,1. Zudem ist x = 50 kein kritischer Punkt; dort ist G′(50) = −0,06·2500 + 150 − 20 = −20, der Gewinn sinkt dort bereits. Die Antwort muss daher den Unterschied zwischen Durchschnitts- und Gesamtgröße erklären, nicht nur den Rechenwert nennen.
2. Prüfe, ob die Subvention die gewinnmaximale Menge erhöht, und bewerte die Aussage „Mehr Produktion ist immer besser“.
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Rechnung: Mit Subvention s = 5 pro Tonne wird die neue Gewinnfunktion G_s(x) = G(x) + 5x = −0,02x³ + 1,5x² − 15x + 100. Ableitung: G_s′(x) = −0,06x² + 3x − 15. Nullstellen: x² − 50x + 250 = 0, also x ≈ 5,6 und x ≈ 44,4. Wegen G_s″(44,4) < 0 liegt dort das lokale Maximum. Die gewinnmaximale Menge steigt von etwa 42,1 auf etwa 44,4 Tonnen.
Bewertung: Die Aussage „Mehr Produktion ist immer besser“ ist zu pauschal. Erstens gilt sie nur innerhalb des Modells und des Definitionsbereichs; bei x > 60 ist die Funktion nicht mehr modelliert. Zweitens ist „besser“ normativ offen: Für den Gewinn kann mehr Produktion kurzfristig besser sein, für Ressourcenverbrauch, Emissionen oder Marktsättigung aber nicht. Drittens zeigt die Subvention einen Zielkonflikt: Sie erhöht den Gewinn und die Menge, kann aber ökologische Kosten externalisieren. Eine tragfähige Antwort müsste deshalb zwischen betriebswirtschaftlichem Gewinn und gesellschaftlichen Kosten unterscheiden und die Modellgrenzen benennen.
3. Der Betrieb sagt: „Bei x = 42,1 produzieren wir kostenoptimal.“ Nimm Stellung.
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Die Aussage ist in dieser Form nicht haltbar. „Kostenoptimal“ ist mehrdeutig: Gemeint sein kann die kostenminimale Menge, die minimale Stückkostenmenge oder die gewinnmaximale Menge. Aus der Aufgabe ist nur die Gewinnfunktion G bekannt; die Kostenfunktion K wird nicht angegeben. Selbst wenn man K aus G und einem Umsatzmodell rekonstruieren würde, wäre das Gewinnmaximum nicht automatisch das Kostenminimum.
Bei x ≈ 42,1 ist der Gesamtgewinn maximal, nicht die Kosten. Ein Kostenminimum läge dort, wo K′(x) = 0 gilt – eine andere Bedingung. Die Aussage verwechselt also Zielfunktion und Nebenbedingung. Korrekt wäre: „Bei x ≈ 42,1 ist der Gewinn unter den gegebenen Annahmen maximal.“ Wer von „kostenoptimal“ spricht, muss die Kostenfunktion und das zugrunde gelegte Kriterium offenlegen.