Looping: Punktmasse oder rollende Kugel?
Im Schülerlabor der Oberstufe wird eine Kugelbahn mit Looping aufgebaut. Eine Stahlkugel (m = 120 g, Durchmesser 2,0 cm) wird auf einer geraden Rampe aus der Ruhe freigegeben und durchläuft anschließend einen kreisförmigen Looping mit dem Radius r = 20,0 cm in einer senkrechten Ebene. Die Starthöhe h wird über dem tiefsten Punkt der Bahn mit einem Lineal (± 0,5 cm) eingestellt. Die Gruppe testet h = 50 cm und h = 60 cm und filmt die Versuche mit 60 Bildern pro Sekunde. Bei h = 50 cm verlässt die Kugel die Bahn im oberen Bereich des Loopings, bei h = 60 cm läuft sie vollständig durch; die Auswertung des Videos ergibt dort im höchsten Punkt eine Geschwindigkeit von 1,1 m/s. Die Betreuerin hatte mit dem Punktmassenmodell argumentiert, bei h = 50 cm müsse der Durchlauf gerade noch gelingen. Die Gruppe diskutiert, ob der Versuch fehlerhaft war oder das Modell ungeeignet ist.
1. Prüfen Sie mit dem Punktmassenmodell, ob h = 50 cm für einen Durchlauf ausreicht, und beurteilen Sie die Beobachtung.
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Punktmassenmodell (gleitend, reibungsfrei) Energie: m·g·h = m·g·2r + ½m·v² → v² = 2g(h − 2r). Im höchsten Punkt liefert Newton: N + m·g = m·v²/r, also N = m(v²/r − g). Der Durchlauf gelingt nur für N ≥ 0, also v² ≥ g·r. Einsetzen: 2g(h − 2r) ≥ g·r → h ≥ 2,5·r = 0,50 m.
Beurteilung: Bei h = 50 cm ist die Bedingung exakt erfüllt, es gilt N = 0. Das ist ein Grenzfall: Jede noch so kleine Reibung oder eine nicht exakte Höheneinstellung (Lineal ± 0,5 cm!) führt zum Herausfallen. Die Beobachtung widerlegt das Punktmassenmodell also nicht, sie zeigt nur, dass es die Mindesthöhe um 4 cm zu niedrig ansetzt. Ursache ist die Rotationsenergie der rollenden Kugel (siehe nächste Aufgabe). Die Aussage der Betreuerin ist nur als Idealisierung richtig, nicht als Vorhersage für den realen Versuch.
2. Bei h = 60 cm zeigt das Video im höchsten Punkt 1,1 m/s. Beurteilen Sie die Energiebilanz.
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Modellvorhersage (rollende Vollkugel, I = 2/5·m·r², ω = v/r): 7/10·m·v² = m·g·(h − 2r) → v = √(1,4·9,81·0,20) = 1,67 m/s.
Messung: v = 1,1 m/s. Energievergleich: E_start = m·g·h = 0,120·9,81·0,60 = 0,706 J. Im höchsten Punkt: Lageenergie m·g·2r = 0,471 J, Bewegungsenergie 0,7·m·v² = 0,7·0,120·1,21 = 0,102 J, Summe 0,573 J. Fehlbetrag: 0,133 J, das sind etwa 19 % der Startenergie.
Beurteilung: Der Verlust ist zu groß für eine reine Messunsicherheit (bei 60 Bildern/s und ±0,1 m/s ergibt sich rund ±0,02 J), aber plausibel für Rollreibung, kleine Stöße an den Schienenstößen und Gleiten der Kugel in den Kurven. Wichtig: Die zum Durchlaufen nötige Mindestgeschwindigkeit √(g·r) = 1,40 m/s wird trotz des Verlusts überschritten – bei h = 60 cm ist die Reserve groß genug. Das Modell ist also nicht falsch, sondern idealisiert; für belastbare Aussagen müsste man den Verlust pro Bahnabschnitt getrennt erfassen.
3. Beurteilen Sie, ob eine gleich große, aber leichtere Kunststoffkugel die Mindesthöhe verringern würde.
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Rechnung ohne Luftwiderstand: Für eine homogene Vollkugel gilt unabhängig von Masse und Dichte h_min = 2r + (5/7)·... → sauber: (7/10)v² = g(h − 2r) und v² ≥ g·r liefern h_min = 2r + 0,7·r = 2,7·r = 54 cm. Die Masse kürzt sich heraus – eine leichtere Kugel gleicher Geometrie hätte dieselbe Mindesthöhe.
Beurteilung: Nur die Massenverteilung zählt. Eine Hohlkugel (I = 2/3·m·r²) bräuchte h_min = 2r + (5/6)·r ≈ 2,83·r ≈ 57 cm, also mehr. Umgekehrt würde eine Kugel mit größerem Trägheitsmoment (kleinere Dichte bei gleichem Radius ändert das nicht) nichts verbessern.
Praxis: Eine Kunststoffkugel ist leichter, hat aber ähnliche Oberflächenverluste; der relative Energieverlust durch Rollreibung und Luftwiderstand wird bei kleinerer Masse größer, weil die Reibungskraft nicht proportional zur Masse skaliert. Die Reserve von 6 cm bei h = 60 cm würde also kleiner, nicht größer. Die Antwort auf die Frage lautet daher: nein – im Modell exakt gleich, im Experiment sogar eher schlechter.