Federpendel: Was bedeutet der Achsenabschnitt?
Im Praktikum wird ein Federpendel mit einer Schraubenfeder (Federkonstante laut Hersteller 6 N/m, Federmasse 30 g) und angehängten Massestücken untersucht. Für jede Masse werden zehn volle Schwingungen mit einer Stoppuhr (Reaktionszeit etwa 0,2 s) gestoppt: m = 50 g → 6,3 s; 100 g → 8,5 s; 150 g → 10,2 s; 200 g → 11,7 s. Die Ausgleichsgerade durch die Auftragung T² über m schneidet die T²-Achse nicht im Ursprung. Ein Schüler folgert daraus, das Hooke'sche Gesetz sei verletzt, die Feder sei „ermüdet“. Die Lehrkraft verlangt stattdessen eine Auswertung, die den Achsenabschnitt ernst nimmt. Die Auslenkungen bleiben unter 5 cm, die Schwingung ist sichtbar gedämpft, die Amplitude nimmt pro Periode um etwa 4 % ab.
1. Bestimmen Sie aus den Messwerten die Federkonstante. Beschreiben Sie das Auswerteverfahren.
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Linearisierung: Für das Federpendel gilt T = 2π·√((m + m_eff)/k), also T² = (4π²/k)·m + (4π²/k)·m_eff. Trägt man T² gegen m auf, erhält man eine Gerade mit der Steigung a = 4π²/k.
Daten: T = 0,63 s; 0,85 s; 1,02 s; 1,17 s → T² = 0,397; 0,723; 1,040; 1,369 s². Steigung aus den Randpunkten: a = (1,369 − 0,397)/(0,200 − 0,050) = 0,972/0,150 = 6,48 s²/kg.
Federkonstante: k = 4π²/a = 39,48/6,48 = 6,1 N/m.
Beurteilung: Der Wert stimmt mit der Herstellerangabe (6 N/m) im Rahmen der Auswertegenauigkeit überein. Die Zwischenpunkte liegen gut auf der Geraden (Steigungen zwischen den Nachbarpaaren: 6,51; 6,36; 6,57 s²/kg), die Linearisierung ist also tragfähig. Entscheidend ist, dass nur die Steigung verwendet wird – der Achsenabschnitt geht nicht in k ein. Wer statt der Steigung nur einen einzelnen Messpunkt einsetzt, macht einen systematischen Fehler, weil er m_eff vernachlässigt.
2. Deuten Sie den Achsenabschnitt und beurteilen Sie die Behauptung des Schülers. Schätzen Sie die effektive Federmasse.
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Achsenabschnitt: b = T²(m=0) = 0,397 − 6,48 · 0,050 = 0,073 s². Aus b = (4π²/k)·m_eff folgt m_eff = b/a = 0,073/6,48 = 0,0113 kg ≈ 11 g.
Deutung: Die schwingende Feder bringt selbst Masse ein; für eine Schraubenfeder ist der effektive Anteil etwa ein Drittel der Federmasse: 30 g/3 = 10 g. Der gemessene Wert von 11 g passt dazu sehr gut. Der Achsenabschnitt ist damit kein Fehler, sondern ein Messsignal – er bestätigt das Modell.
Beurteilung der Behauptung: Falsch. Das Hooke'sche Gesetz wird durch einen von null verschiedenen Achsenabschnitt nicht verletzt: Die rücktreibende Kraft ist weiterhin proportional zur Auslenkung (kleine Auslenkungen < 5 cm, lineare Kennlinie). Eine „ermüdete“ Feder würde sich in einer veränderten Steigung, nicht in einem Achsenabschnitt zeigen. Der Schüler hat zwei Dinge verwechselt: die Gültigkeit des Kraftgesetzes und die Annahme, die Feder sei masselos. Methodisch sauber wäre, m_eff als Fitparameter zuzulassen oder die Federmasse anteilig zu den angehängten Massen zu addieren.
3. Beurteilen Sie, ob die Dämpfung oder die Messunsicherheit die Bestimmung von k verfälscht, und ob sich 6,0 N/m von 6,1 N/m unterscheiden lassen.
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Dämpfung: Bei 4 % Amplitudenabnahme pro Periode ist das logarithmische Dekrement Λ = ln(1,04) ≈ 0,039, die Güte Q = π/Λ ≈ 80. Die gedämpfte Frequenz weicht nur um etwa 1/(8Q²) ≈ 2·10⁻⁵ von der ungedämpften ab – völlig vernachlässigbar. Die Dämpfung beeinflusst die Periodendauer praktisch nicht, sie erschwert nur das Ablesen der Nulldurchgänge. Für k ist sie unkritisch.
Messunsicherheit: Zehn Schwingungen werden auf ± 0,2 s gestoppt, also T auf ± 0,02 s. Bei T = 0,63 s sind das 3,2 %, bei T = 1,17 s nur 1,7 %. In T² verdoppelt sich der relative Fehler (6,4 % bzw. 3,4 %). Die Steigung – und damit k – ist vor allem durch den Punkt mit der kleinsten Masse unsicher: Δk/k ≈ 6 % → Δk ≈ 0,37 N/m.
Beurteilung: 6,0 N/m und 6,1 N/m liegen weit innerhalb dieser Unsicherheit; sie sind mit diesem Aufbau nicht unterscheidbar. Eine belastbare Unterscheidung würde ein präziseres Zeitnormal (Lichtschranke, viele Perioden) oder größere Massen erfordern. Die Aussage „die Feder hat 6,1 N/m“ ist daher zu stark; korrekt ist „k = (6,1 ± 0,4) N/m, verträglich mit 6 N/m“.