Doppelspalt: Welche Messung ist genauer?
Zwei Schülergruppen bestimmen mit dem gleichen Aufbau die Wellenlänge eines He-Ne-Lasers (Herstellerangabe 632,8 nm). Der Doppelspalt hat laut Datenblatt a = 0,250 mm (Toleranz ± 0,005 mm), der Schirmabstand L = 2,50 m wird mit einem Maßband (± 5 mm) gemessen. Gruppe A misst den Abstand zwischen dem Maximum 1. Ordnung und dem Maximum 6. Ordnung auf einer Seite zu 31,6 mm, Gruppe B misst den Abstand vom Maximum 0. Ordnung zum Maximum 1. Ordnung zu 6,2 mm. Beide verwenden dasselbe Lineal (Skalenteilung 0,5 mm) und dieselbe Messmethode. Gruppe B erklärt, das Datenblatt müsse falsch sein, weil ihr Wert stärker von 632,8 nm abweicht. Außerdem fällt beiden auf, dass die Maxima am Rand des Musters deutlich schwächer sind und einzelne Ordnungen ganz fehlen.
1. Berechnen Sie die Wellenlänge für beide Messungen und beurteilen Sie die Erklärung von Gruppe B.
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Grundformel: Für kleine Winkel gilt für den Abstand benachbarter Maxima d = λ·L/a, also λ = a·d/L.
Gruppe A: 31,6 mm umfassen 5 Intervallbreiten → d = 6,32 mm. λ_A = 0,250·10⁻³ m · 6,32·10⁻³ m / 2,50 m = 6,32·10⁻⁷ m = 632 nm.
Gruppe B: d = 6,2 mm → λ_B = 0,250·10⁻³ · 6,2·10⁻³/2,50 = 6,20·10⁻⁷ m = 620 nm.
Unsicherheiten:
- Gruppe A: Ablesefehler ± 0,5 mm auf 31,6 mm → 1,6 %; Spaltabstand 2 %; Schirmabstand 0,2 %. Gesamt etwa 2,6 % → ± 16 nm.
- Gruppe B: ± 0,5 mm auf 6,2 mm → 8 %; Gesamt etwa 8,3 % → ± 51 nm.
Beurteilung: Beide Ergebnisse sind mit 632,8 nm verträglich. Gruppe B liegt mit 620 nm zwar nominell 2 % daneben, doch ihre Messunsicherheit ist fünfmal größer als bei A – der Unterschied ist kein Beweis für ein falsches Datenblatt, sondern Folge der Methode. Der Abstand 0. Ordnung zum 1. Maximum ist ungünstig, weil das zentrale Maximum breit und unscharf ist und die Position seines Schwerpunkts schwer zu treffen ist. Gruppe A nutzt fünf Intervalle und verteilt so den Ablesefehler; ihre Messung ist die belastbarere. Ein Nachweis eines Datenblattfehlers würde eine deutlich kleinere Unsicherheit erfordern, z. B. Messung über 10 Ordnungen oder ein Messmikroskop.
2. Erklären Sie das schwächere Muster am Rand und das Fehlen einzelner Ordnungen. Beurteilen Sie, ob sich daraus die Spaltbreite bestimmen lässt.
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Modell: Die Intensität des Doppelspalts ist das Produkt aus Einzelspalt- und Interferenzterm: I(θ) ∝ (sin u/u)² · cos²(π·a·sinθ/λ) mit u = π·b·sinθ/λ (b = Spaltbreite). Der cos²-Term erzeugt die feinen Interferenzmaxima, der (sin u/u)²-Term bildet die langsam veränderliche Einhüllende der Beugung am Einzelspalt. Zum Rand hin wächst u, die Einhüllende fällt ab – die Interferenzmaxima werden schwächer.
Fehlende Ordnungen: Eine Ordnung m verschwindet, wenn ein Maximum der Interferenz mit einer Nullstelle der Einhüllenden zusammenfällt: a·sinθ = m·λ und b·sinθ = n·λ → m/n = a/b. Ist beispielsweise die 8. Ordnung nicht zu sehen, folgt b = a/8 = 0,250 mm/8 ≈ 31 µm.
Beurteilung: Das Fehlen einzelner Ordnungen ist kein Defekt des Spalts, sondern eine konsistente Vorhersage des Modells – die Beobachtung stützt die Wellentheorie. Die Spaltbreite lässt sich so abschätzen, aber nur mit der Ordnungszahl der ersten fehlenden Ordnung, die man bei schwacher Einhüllender leicht falsch zählt. Zudem ist die Angabe a im Datenblatt nur auf 2 % bekannt; für b ergibt sich dieselbe relative Unsicherheit. Der Wert ist also eine plausible Größenordnung, kein Präzisionsergebnis. Eine unabhängige Prüfung wäre die Messung des Abstands der ersten Nullstellen der Einhüllenden.
3. Beurteilen Sie, warum ein breiterer Quellspalt das Streifenmuster verschwinden lässt.
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Wirkung eines ausgedehnten Quellspalts: Jeder Punkt des Quellspalts erzeugt ein eigenes Interferenzmuster. Ein um y_s versetzter Quellpunkt beleuchtet den Doppelspalt unter dem Winkel α ≈ y_s/L und verschiebt das Muster auf dem Schirm um näherungsweise y_s (bei gleichem Abstand L).
Folgerung: Die Muster verschiedener Quellpunkte überlagern sich unverschoben-additiv. Verschieben sich die Muster um mindestens eine halbe Streifenbreite, füllen sich Maxima und Minima gegenseitig auf, der Kontrast bricht zusammen. Mit der Streifenbreite d = λL/a folgt für die zulässige Quellspaltbreite s ≲ λL/a = (632,8·10⁻⁹ m · 2,50 m)/(0,250·10⁻³ m) ≈ 6 mm.
Beurteilung: Ein Quellspalt von 0,1–0,5 mm – wie in Schülerversuchen üblich – liegt weit unter dieser Grenze; das Muster bleibt kontrastreich. Erst ein auf mehrere Millimeter geöffneter Spalt (oder eine ausgedehnte Lampe statt eines Lasers) macht die Streifen unsichtbar. Das ist ein Kohärenzphänomen (räumliche Kohärenz), keine Intensitätsfrage: Mehr Licht bedeutet nicht bessere Sichtbarkeit. Für die Wellenlängenbestimmung folgt daraus, dass die Spaltbreite der Quelle bewusst klein zu wählen und im Protokoll zu dokumentieren ist.