Fotoeffekt: Planck-Konstante aus fünf Messpunkten
Mit einer Fotozelle (Kaliumkathode) und der Gegenfeldmethode werden die Bremsspannungen für die Linien einer Quecksilberdampflampe gemessen: λ = 365 nm → U_G = 1,83 V; 405 nm → 1,52 V; 436 nm → 1,27 V; 546 nm → 0,72 V; 578 nm → 0,58 V. Die Spannungen werden mit einem Digitalvoltmeter (Auflösung 0,01 V) abgelesen; als Kriterium für U_G dient der Punkt, an dem der Fotostrom gerade verschwindet, nachgewiesen über ein empfindliches Amperemeter. Ein Schüler erhöht die Intensität durch eine zweite Lampe und erwartet höhere Bremsspannungen. Ein anderer meint, man könne aus denselben Daten auch die Austrittsarbeit und die rote Grenze bestimmen. Beide Erwartungen sollen beurteilt werden. (hc = 1240 eV·nm)
1. Bestimmen Sie aus den Messwerten das Planck'sche Wirkungsquantum und beurteilen Sie das Ergebnis.
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Ansatz: e·U_G = h·f − W → U_G = (h/e)·f − W/e. Die Auftragung U_G über f liefert eine Gerade mit der Steigung h/e.
Frequenzen (f = c/λ): 8,21·10¹⁴ Hz; 7,40·10¹⁴ Hz; 6,88·10¹⁴ Hz; 5,49·10¹⁴ Hz; 5,19·10¹⁴ Hz.
Steigung aus den Randpunkten: (1,83 − 0,58) V / (8,21 − 5,19)·10¹⁴ Hz = 1,25 V / 3,02·10¹⁴ Hz = 4,14·10⁻¹⁵ V·s. Eine Ausgleichsgerade über alle fünf Punkte ergibt praktisch denselben Wert (etwa 4,1·10⁻¹⁵ V·s).
Planck-Konstante: h = e·(h/e) = 1,602·10⁻¹⁹ C · 4,14·10⁻¹⁵ V·s = 6,6·10⁻³⁴ J·s.
Beurteilung: Der Literaturwert 6,63·10⁻³⁴ J·s wird auf etwa 1 % getroffen – für ein Schülerexperiment ein sehr gutes Ergebnis. Die Punkte liegen im Rahmen der Ableseunsicherheit von ± 0,01 V auf einer Geraden; die Streuung der Einzelwerte (Austrittsarbeit jeweils aus einem Punkt: 1,57; 1,54; 1,57; 1,55; 1,57 eV) ist klein. Entscheidend ist, dass die Steigung verwendet wird: Ein einzelner Messpunkt würde die unbekannte Austrittsarbeit mit h vermischen und ein falsches Ergebnis liefern. Die Steigung ist dagegen unabhängig von W, also von der Kathodenoberfläche.
2. Beurteilen Sie die Erwartung des Schülers, eine höhere Intensität führe zu größeren Bremsspannungen.
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Physikalische Begründung: Die maximale kinetische Energie eines Elektrons ist E_kin,max = h·f − W. Sie hängt nur von der Frequenz des Lichts und der Austrittsarbeit ab, nicht von der Intensität. Eine höhere Intensität bedeutet mehr Photonen pro Zeit, also einen größeren Sättigungsstrom – jedes einzelne Elektron erhält aber weiterhin höchstens die Energie eines Photons. Die Bremsspannung, bei der der Strom verschwindet, bleibt daher gleich.
Was der Schüler tatsächlich beobachten würde: Der Fotostrom ist größer, das Amperemeter zeigt einen größeren Ausschlag. Beim Herunterregeln der Gegenspannung verschwindet der Strom nicht mehr scharf bei U_G, sondern läuft über einen breiteren Spannungsbereich aus (endliche Energieverteilung, Streuung an der Oberfläche). Wird das Kriterium „gerade null“ beibehalten, verschiebt sich der abgelesene Wert scheinbar – ein systematischer Messfehler, kein physikalischer Effekt.
Beurteilung: Die Erwartung ist falsch; sie beruht auf der klassischen Vorstellung, die Energie des Lichts verteile sich kontinuierlich auf die Elektronen und wachse mit der Amplitude. Genau dieser Widerspruch war historisch der Auslöser für das Photonenmodell. Methodisch sollte der Schüler die Intensität konstant halten oder mit einer empfindlicheren Strommessung und definiertem Kriterium arbeiten, z. B. Extrapolation des linearen Teils der Strom-Spannungs-Kurve.
3. Beurteilen Sie, ob sich Austrittsarbeit und rote Grenze aus diesen Daten zuverlässig bestimmen lassen.
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Austrittsarbeit aus jedem Punkt (W = hc/λ − e·U_G, mit hc/λ in eV): 365 nm: 3,40 − 1,83 = 1,57 eV 405 nm: 3,06 − 1,52 = 1,54 eV 436 nm: 2,84 − 1,27 = 1,57 eV 546 nm: 2,27 − 0,72 = 1,55 eV 578 nm: 2,15 − 0,58 = 1,57 eV Mittelwert: W ≈ 1,56 eV, Streuung ± 0,02 eV.
Rote Grenze: λ_G = hc/W = 1240/1,56 ≈ 795 nm (für Kalium liegt der Literaturwert je nach Oberfläche bei etwa 550–770 nm, stark oberflächenabhängig).
Beurteilung: Die Austrittsarbeit folgt aus dem Achsenabschnitt der Geraden und ist damit im Prinzip zugänglich; sie ist aber der empfindlichere Wert, weil sie als Differenz zweier großer Größen (Photonenergie minus kleine Bremsspannung) bestimmt wird und weil die Oberfläche der Kathode (Oxidschichten, Verunreinigungen) W verändert. Der Wert 1,56 eV ist daher eine obere Schranke für die „saubere“ Kaliumoberfläche. Die rote Grenze entsteht durch Extrapolation fast 220 nm über die längste gemessene Linie hinaus; schon ± 0,02 eV in W bedeuten ± 10 nm in λ_G. Zusätzlich liefert die Messung bei 578 nm einen sehr kleinen Fotostrom, dort ist die Bestimmung von U_G am unsichersten. Fazit: W und λ_G lassen sich als Größenordnung angeben, für einen belastbaren Wert müsste man bis zur Grenzwellenlänge selbst messen, etwa mit einer abstimmbaren Monochromator-Quelle.