Optik: Interferenz, Beugung und Quantenoptik
Die Optik prüft in Mecklenburg-Vorpommern vor allem das Verständnis von Interferenz und Beugung am Doppelspalt und am Gitter sowie den Übergang zur Quantenoptik beim äußeren Fotoeffekt. Rechenaufgaben zu Streifenabständen wechseln sich mit Deutungsaufgaben zum Welle-Teilchen-Dualismus ab.
Licht als Welle
Nach dem Huygensschen Prinzip ist jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer Elementarwelle; die Einhüllende ergibt die neue Wellenfront. Interferenz setzt Kohärenz voraus, also gleiche Frequenz und feste Phasenbeziehung – deshalb arbeitet man mit Laserlicht oder Einzelfarben und nicht mit weißem Licht.
Doppelspalt und Gitter
Für den Doppelspalt mit Spaltabstand d gelten Maxima bei d·sin θ_n = n·λ mit n = 0, 1, 2, … Für kleine Winkel ist sin θ ≈ tan θ = x/a (a = Abstand Spalt–Schirm), also x_n = n·λ·a/d; der Streifenabstand benachbarter Maxima ist Δx = λ·a/d. Am Gitter mit der Gitterkonstanten d = 1/(Linien pro mm) gilt dieselbe Maximumsbedingung, doch wegen der vielen Spalte sind die Maxima sehr scharf. Beim Einzelspalt liegen die Minima bei b·sin θ = n·λ mit n = 1, 2, …; das zentrale Maximum ist doppelt so breit wie die Nebenmaxima.
Beugung und Auflösung
Beugung wird deutlich, wenn die Spaltbreite in der Größenordnung der Wellenlänge liegt. Das Rayleigh-Kriterium fordert für die Trennung zweier Objekte einen Winkelabstand von mindestens etwa λ/D – je größer die Öffnung, desto besser das Auflösungsvermögen.
Quantenoptik
Beim äußeren Fotoeffekt gilt E_Ph = h·f = h·c/λ und E_kin = h·f − W_A mit der Austrittsarbeit W_A. Für die Gegenspannung gilt e·U_G = h·f − W_A, die Grenzfrequenz ist f_G = W_A/h. Entscheidend: Die Intensität bestimmt die Zahl der Photonen, nicht ihre Energie; diese hängt allein von der Frequenz ab. Beim Compton-Effekt zeigt sich der Photonenimpuls über Δλ = (h/(m_e·c))·(1 − cos φ).
Durchgerechnetes Beispiel
Doppelspalt mit d = 0,50 mm, a = 2,00 m und λ = 633 nm: Δx = λ·a/d = (633·10⁻⁹·2,00)/(0,50·10⁻³) ≈ 2,5·10⁻³ m, also 2,5 mm. Das Maximum dritter Ordnung liegt bei x₃ = 3·Δx ≈ 7,6 mm. Fotoeffekt: Für λ = 250 nm ist E_Ph = 1240 eV·nm/250 nm = 4,96 eV; mit W_A = 2,3 eV bleibt E_kin = 2,66 eV, also U_G = 2,66 V.
Typische Fehlerquellen
- n = 0 als „erstes“ Maximum zählen statt als nulltes.
- Die Kleinwinkelnäherung auch bei großen Beugungswinkeln verwenden.
- Austrittsarbeit in eV und Photonenenergie in Joule mischen.
- Intensität und Photonenenergie gleichsetzen.
- Die Gitterkonstante falsch umrechnen (500 Linien/mm ergibt d = 2·10⁻⁶ m).
Quantenphysik: Welle-Teilchen-Dualismus, Unschärfe und Potenzialtopf
Die Quantenphysik ist in Mecklenburg-Vorpommern der Bereich, in dem klassische Vorstellungen bewusst verlassen werden. Geprüft wird der Umgang mit der de-Broglie-Wellenlänge, der Heisenbergschen Unschärferelation, der quantisierten Energie im Potenzialtopf und den Termschemata des Wasserstoffatoms.
Welle-Teilchen-Dualismus
Teilchen haben eine Materiewellenlänge λ = h/p = h/(m·v). Für ein Elektron, das die Spannung U durchläuft, ist p = √(2·m_e·e·U), also λ = h/√(2·m_e·e·U). Praktische Faustregel: λ ≈ 1,226 nm/√(U/V). Bei 100 V ergibt das etwa 123 pm – klein genug, um an Kristallgittern Beugung zu zeigen. Umgekehrt besitzen Photonen den Impuls p = h/λ.
Quantenobjekte und Messung
Die Heisenbergsche Unschärferelation lautet Δx·Δp ≥ ħ/2 mit ħ = h/(2π). Sie ist keine Messungenauigkeit, sondern eine Eigenschaft der Quantenobjekte. Beim Doppelspalt mit einzelnen Elektronen entsteht das Interferenzmuster erst durch die Statistik vieler Treffer; sobald der Weg gemessen wird, verschwindet das Muster.
Potenzialtopf und Wasserstoffatom
Für ein Teilchen im unendlich hohen Potenzialtopf der Breite L gilt E_n = n²·h²/(8·m·L²). Die Nullpunktsenergie ist ungleich null – das Teilchen kann nicht vollständig ruhen. Im Wasserstoffatom gilt E_n = −13,6 eV/n²; Übergänge erfüllen h·f = E_n − E_m. Als Spektralserien schreibt man 1/λ = R·(1/m² − 1/n²) mit R = 1,097·10⁷ m⁻¹; die Balmer-Serie (m = 2) liegt im sichtbaren Bereich.
Quantenmechanische Beschreibung
Das Quadrat der Wellenfunktion, |ψ|², ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte; die Normierung ∫|ψ|² dV = 1 sorgt dafür, dass das Teilchen irgendwo gefunden wird. Orbitale geben statt Bahnen Aufenthaltsräume an und lösen damit die Grenzen des Bohrschen Modells ab.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Elektron (m = 9,11·10⁻³¹ kg) sei in einem Potenzialtopf der Breite L = 1,0 nm eingeschlossen. Dann ist E₁ = h²/(8·m·L²) = (6,626·10⁻³⁴)²/(8·9,11·10⁻³¹·1,0·10⁻¹⁸) ≈ 6,0·10⁻²⁰ J ≈ 0,38 eV. Für n = 2 folgt E₂ = 4·E₁ = 1,51 eV. Der Übergang 2 → 1 setzt ΔE = 1,13 eV frei, also λ = h·c/ΔE ≈ 1,1 µm – Infrarotstrahlung.
Typische Fehlerquellen
- h und ħ verwechseln und die Unschärferelation mit ≥ h statt ≥ ħ/2 ansetzen.
- Die negative Energie der gebundenen Zustände im Wasserstoffatom als Rechenfehler deuten; nur Differenzen sind als Photonenenergie beobachtbar.
- Bei hohen Elektronenenergien klassisch rechnen, obwohl relativistische Korrekturen nötig sind.
- Für λ = h/p die Impulsformel mit der falschen Spannung ansetzen (nach dem Beschleunigen, nicht davor).
- Beim Potenzialtopf die Breite L quadratisch einsetzen zu vergessen.
Atom- und Kernphysik: Bohr-Modell, Bindungsenergie und radioaktiver Zerfall
Die Atom- und Kernphysik verbindet in Mecklenburg-Vorpommern das Bohrsche Atommodell mit quantitativen Aussagen zu Spektren und Kernumwandlungen. Häufig werden Energien in eV oder MeV verlangt, oft zusammen mit dem Zerfallsgesetz und einer Bilanz der Nukleonenzahlen.
Atommodelle
Das Bohrsche Modell postuliert stationäre Bahnen ohne Abstrahlung und Übergänge mit h·f = E_n − E_m. Die Drehimpulsquantisierung m·v·r = n·ħ liefert r_n = n²·a₀ mit a₀ = 52,9 pm und E_n = −13,6 eV/n². Grenzen: Mehrelektronenatome, Feinstruktur und die Intensität der Linien lassen sich nicht erklären; hier hilft das Orbitalmodell mit Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Für Serien gilt 1/λ = R·(1/m² − 1/n²) mit R = 1,097·10⁷ m⁻¹ (Lyman: m = 1, Balmer: m = 2).
Kernaufbau und Bindungsenergie
Nuklidnotation ᴬ_Z X mit A = Z + N; der Kernradius ist r ≈ 1,2 fm·A^(1/3). Der Massendefekt ist Δm = (Z·m_p + N·m_n) − m_Kern, die Bindungsenergie E_B = Δm·c² mit 1 u ≙ 931,5 MeV. Die Bindungsenergie pro Nukleon steigt bis etwa A ≈ 56 (Eisen) und fällt danach – deshalb liefern sowohl die Spaltung schwerer Kerne als auch die Fusion leichter Kerne Energie.
Radioaktiver Zerfall
α-Zerfall: A sinkt um 4, Z um 2. β⁻-Zerfall: Z steigt um 1, ein Antineutrino entsteht. β⁺-Zerfall: Z sinkt um 1. γ-Strahlung ändert Z und A nicht. Es gilt N(t) = N₀·e^(−λt), T_1/2 = ln2/λ und A = λ·N in Becquerel. Dosismessgrößen sind die Energiedosis in Gray und die Äquivalentdosis in Sievert.
Kernspaltung und Fusion
Die Spaltung von ²³⁵U setzt etwa 200 MeV pro Ereignis frei; Moderatoren bremsen die Neutronen, Steuerstäbe absorbieren sie. Fusion erfordert das Überwinden der Coulomb-Abwehr und die Erfüllung des Lawson-Kriteriums (Dichte, Temperatur, Einschlusszeit).
Durchgerechnetes Beispiel
²¹⁰Po → ⁴He + ²⁰⁶Pb mit den Massen 209,98287 u, 4,00260 u und 205,97447 u. Dann ist Δm = 209,98287 − (4,00260 + 205,97447) = 0,00580 u und E = 0,00580·931,5 MeV ≈ 5,4 MeV. Mit T_1/2 = 138 d gilt λ = ln2/138 d ≈ 5,02·10⁻³ d⁻¹. Nach 276 d sind zwei Halbwertszeiten vergangen: 75 % der Kerne sind zerfallen, die Aktivität ist auf ein Viertel gesunken.
Typische Fehlerquellen
- Beim β⁻-Zerfall das Antineutrino weglassen und das kontinuierliche Spektrum nicht erklären.
- Das Vorzeichen des Massendefekts verdrehen (Massen der Produkte von den Eduktmassen subtrahieren).
- Aktivität (Bq) und Dosis (Gy, Sv) verwechseln.
- Halbwertszeit und mittlere Lebensdauer gleichsetzen: τ = T_1/2/ln2 ≈ 1,44·T_1/2.
- Bei γ-Strahlung eine Änderung von Z oder A annehmen.
Relativitätstheorie: Zeitdilatation, Längenkontraktion und relativistische Energie
Die Relativitätstheorie schließt in Mecklenburg-Vorpommern den Stoff der Oberstufe ab und wird meist an konkrete Szenarien gebunden: Myonen in der Atmosphäre, Teilchenbeschleuniger oder Gedankenexperimente zu gleichzeitigen Ereignissen. Verlangt wird der sichere Umgang mit dem Lorentzfaktor und die Fähigkeit zu begründen, wann klassisch gerechnet werden darf.
Die beiden Postulate
Erstens: Alle Inertialsysteme sind gleichwertig, physikalische Gesetze haben in allen dieselbe Form. Zweitens: Die Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 2,998·10⁸ m/s ist in jedem Inertialsystem gleich, unabhängig von der Bewegung von Quelle und Beobachter. Daraus folgt, dass Gleichzeitigkeit relativ ist: Zwei Ereignisse, die in einem System gleichzeitig sind, können in einem anderen zeitlich versetzt sein.
Lorentzfaktor, Zeitdilatation und Längenkontraktion
Der Lorentzfaktor ist γ = 1/√(1 − v²/c²). Für bewegte Uhren gilt Δt = γ·Δt₀, wobei Δt₀ die Eigenzeit im Ruhesystem der Uhr ist – sie ist stets die kürzeste gemessene Zeit. Längen in Bewegungsrichtung verkürzen sich zu L = L₀/γ; senkrecht zur Bewegung bleibt die Länge unverändert. Beide Effekte sind symmetrisch: Jeder Beobachter hält die Uhr des anderen für langsamer.
Relativistischer Impuls und Energie
Es gilt p = γ·m·v und E = γ·m·c². Die Ruheenergie ist E₀ = m·c², die kinetische Energie E_kin = (γ − 1)·m·c². Allgemein gilt die Energie-Impuls-Beziehung E² = (p·c)² + (m·c²)². Für Photonen ist m = 0, also E = p·c. Klassisch rechnen darf man bis etwa v = 0,1·c (Fehler unter einem Prozent); ab etwa 0,3·c werden die Abweichungen prüfungsrelevant.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Myon entsteht in 10 km Höhe mit v = 0,995·c. Dann ist γ = 1/√(1 − 0,995²) ≈ 10,0. Im Ruhesystem des Myons ist die mittlere Lebensdauer τ ≈ 2,2 µs; klassisch käme es nur etwa 0,995·c·2,2 µs ≈ 660 m weit und erreichte den Boden nie. Im Erdsystem ist die Lebensdauer jedoch γ·τ ≈ 22 µs, die Reichweite wächst auf rund 6,6 km – je nach Höhe und Spektrum erreichen die Myonen den Erdboden.
Typische Fehlerquellen
- γ auf die falsche Zeit anwenden: Die Eigenzeit ist immer die kürzeste, also Δt = γ·Δt₀ und nicht umgekehrt.
- Längenkontraktion auch quer zur Bewegungsrichtung annehmen.
- Bei v > 0,3·c weiter mit ½m·v² rechnen.
- c in km/h einsetzen, statt in m/s umzurechnen.
- Übersehen, dass E_kin = (γ − 1)·m·c² bereits die Ruheenergie abzieht.