Ampliación de un friso ornamental: homotecia, cuarta proporcional y grosor de trazo
En el taller de un diseñador de estampados se debe reproducir un friso ornamental cuyo módulo original mide 48 mm de ancho por 30 mm de alto, dibujado en un croquis a lápiz. El friso definitivo debe ocupar un ancho de 168 mm y repetirse seis veces a lo largo de una cenefa de 1 008 mm. El cliente aporta además una variante «reducida» del mismo módulo que debe mantener la proporción y ocupar exactamente 1/9 de la superficie del módulo ampliado. La imprenta advierte de que el trazo del módulo ampliado no debe superar 0,8 mm de grosor si el original tenía 0,25 mm, y que cualquier desviación superior al 1 % en la proporción se detecta a simple vista en la repetición. El dibujante dispone de escuadra, cartabón, compás y regla graduada, pero no de calculadora ni de software. Se pide resolver la ampliación por procedimientos gráficos.
1. Determina el factor de ampliación y el módulo final. Explica cómo obtenerlo con regla y compás y qué comprobación garantiza que la proporción se mantiene.
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Factor y construcción. La razón es k = 168 / 48 = 3,5 = 7/2; el alto será 30 × 3,5 = 105 mm.
Sin calculadora se construye una escala de ampliación: desde un vértice del módulo se traza una semirrecta auxiliar y sobre ella se llevan siete segmentos iguales con el compás; se une el extremo 7 con el vértice del lado de 168 mm y, por el punto 2, se traza la paralela (Thales), que sitúa el lado de 48 mm. Con esa misma razón se amplía el alto. Alternativamente, la altura se obtiene como cuarta proporcional de 168, 30 y 48 (h/168 = 30/48).
Comprobación. La comprobación numérica es 168/105 = 1,6 y 48/30 = 1,6. La comprobación fuerte es angular: una homotecia conserva los ángulos, así que la diagonal del módulo debe medir arctan(30/48) = 32,0° en el original y arctan(105/168) = 32,0° en la ampliación. Si en lugar de multiplicar se añade un margen fijo, la diagonal cambia y el error se repite seis veces en la cenefa.
2. La variante reducida debe tener 1/9 de la superficie del módulo ampliado. ¿Qué razón de semejanza se aplica, sobre qué módulo se aplica y cómo se construye?
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La razón se aplica a la superficie, no al lado. Si la variante debe tener 1/9 de la superficie, la razón lineal es √(1/9) = 1/3, porque las áreas varían con el cuadrado de la razón de semejanza.
Referencia correcta. El enunciado dice 1/9 de la superficie del módulo ampliado, no del original: 168 × 105 = 17 640 mm²; 17 640/9 = 1 960 mm², es decir 56 × 35 mm. La razón respecto al módulo original es 3,5/3 = 7/6 ≈ 1,167, no 1/3. Aplicar 1/3 al original daría 16 × 10 mm (160 mm²), nueve veces menor de lo pedido: es el error clásico.
Construcción. Se divide un lado en tres partes iguales con Thales (semirrecta auxiliar, tres segmentos, paralelas) y se traslada la medida con el compás; el alto se obtiene con la misma razón o como cuarta proporcional. Conviene cerrar con la comprobación de proporción: 56/35 = 1,6, igual que el módulo de partida.
3. Con el trazo original de 0,25 mm y el límite de 0,8 mm, ¿es compatible una ampliación homotética del grosor de línea? Razona la respuesta y propón una solución técnicamente defendible.
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Incompatibilidad. Un trazo homotético daría 0,25 × 3,5 = 0,875 mm, por encima del límite de 0,8 mm. Ahora bien, el grosor de línea no es una magnitud geométrica: es una norma de representación (UNE-EN ISO 128), de modo que la ampliación puede ser homotética en la forma y no serlo en el trazo.
Decisión. El límite de 0,8 mm tampoco pertenece a la serie normalizada (0,13 – 0,18 – 0,25 – 0,35 – 0,5 – 0,7 – 1,0 – 1,4 mm). La opción defendible es ampliar la geometría con k = 3,5 y dibujar el contorno con 0,7 mm, valor normalizado e inferior a 0,8 mm; la relación de trazo resulta 2,8 en lugar de 3,5, pero la forma conserva su proporción exacta.
Justificación. Al crecer el módulo, la línea ocupa más superficie relativa y el friso se lee más oscuro; bajar de 0,875 a 0,7 mm compensa esa ganancia y evita que la repetición aparezca como una mancha. Si el cliente exigiera estrictamente la homotecia del trazo, el módulo no podría pasar de 48 × 0,8/0,25 = 153,6 mm de ancho.