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Andalusia PAU Technical Drawing Applied to Plastic Arts and Design II practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homotecia de centro O y razón k = −2, ¿qué le ocurre a una figura plana respecto de su original?

  1. Se reduce a la mitad y aparece girada 90° alrededor de O.
  2. Se duplica su tamaño y queda situada en el semiplano opuesto respecto de O. Correct answer.
  3. Se duplica su tamaño manteniendo la misma orientación.
  4. Se reduce a la mitad y conserva la misma orientación.

Explanation

El valor absoluto de la razón, 2, multiplica todas las distancias al centro, de modo que la figura dobla su tamaño. El signo negativo invierte el sentido, situando cada punto imagen en la semirrecta opuesta respecto de O.

Question 2Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Dos triángulos son semejantes con razón de semejanza k = 3/4 entre el primero y el segundo. Si el área del primero es 48 cm², ¿cuál es el área del segundo?

  1. 27 cm² Correct answer.
  2. 24 cm²
  3. 36 cm²
  4. 64 cm²

Explanation

En figuras semejantes las áreas varían con el cuadrado de la razón de semejanza. Así, A₂ = A₁ · k² = 48 · (9/16) = 27 cm².

Question 3Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Al aplicar una simetría axial respecto de una recta r a un segmento AB, ¿qué propiedad se conserva siempre?

  1. La longitud del segmento y la colinealidad de sus puntos. Correct answer.
  2. El paralelismo entre el segmento y el eje r.
  3. La distancia de cada punto al eje, que se duplica.
  4. El sentido de giro de cualquier figura orientada.

Explanation

La simetría axial es una isometría: conserva distancias, ángulos y alineaciones, por lo que el segmento imagen tiene la misma longitud. Sin embargo, invierte la orientación de las figuras.

Question 4Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

¿Cuál es la cuarta proporcional de los segmentos a = 4 cm, b = 6 cm y c = 10 cm, es decir, el valor x que cumple a/b = c/x?

  1. 20 cm
  2. 12 cm
  3. 15 cm Correct answer.
  4. 2,4 cm

Explanation

De la proporción a/b = c/x se despeja x = b·c/a = 6·10/4 = 15 cm. La cuarta proporcional es el término que completa una proporción entre tres segmentos conocidos.

Question 5Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En un giro de centro O y ángulo 120° en sentido antihorario, ¿qué transformación equivale a aplicar tres veces consecutivas ese mismo giro?

  1. Una homotecia de razón 3.
  2. Una simetría central respecto de O. Correct answer.
  3. Una simetría axial respecto de una recta que pasa por O.
  4. Una traslación de vector 3·OP.

Explanation

Tres giros de 120° suman 360°, que equivale a una rotación de 180°, es decir, una simetría central respecto del centro O. La composición de giros del mismo centro suma sus ángulos.

Question 6Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

¿Qué nombre recibe el punto del plano que, en una homotecia, permanece invariante y del que dependen las distancias escaladas?

  1. Punto medio del segmento.
  2. Centro de homotecia. Correct answer.
  3. Polo de la cónica.
  4. Punto de fuga.

Explanation

En toda homotecia existe un punto fijo llamado centro, desde el cual cada punto imagen se sitúa sobre la misma recta a una distancia multiplicada por la razón.

Question 7Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

La razón de proporcionalidad entre dos figuras semejantes es 5/2. Si el perímetro de la figura menor es 18 cm, ¿cuál es el perímetro de la mayor?

  1. 45 cm Correct answer.
  2. 90 cm
  3. 36 cm
  4. 7,2 cm

Explanation

Los perímetros de figuras semejantes son proporcionales a la razón de semejanza, no a su cuadrado. Por tanto, P = 18 · (5/2) = 45 cm.

Question 8Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

¿Qué transformación geométrica conserva siempre la forma y el tamaño de una figura, aunque pueda cambiar su posición u orientación?

  1. Una isometría, como la traslación o el giro. Correct answer.
  2. Una proyección central.
  3. Una homotecia de razón distinta de 1.
  4. Una afinidad de eje y dirección dados.

Explanation

Las isometrías conservan todas las distancias y, por tanto, forma y tamaño, limitándose a mover la figura en el plano. Las homotecias y afinidades alteran dimensiones o ángulos.

Question 9Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se quiere dividir un segmento AB de 9 cm en partes proporcionales a 2, 3 y 4 mediante el teorema de Tales. ¿Cuál es la longitud de la parte mayor?

  1. 4 cm Correct answer.
  2. 2 cm
  3. 3 cm
  4. 4,5 cm

Explanation

La suma de las partes proporcionales es 2+3+4 = 9, de modo que cada unidad vale 1 cm. La parte mayor corresponde a 4 unidades, es decir, 4 cm.

Question 10Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Dos triángulos rectángulos comparten un ángulo agudo y tienen sus catetos paralelos. Si el cateto menor del primero mide 6 cm y el homólogo del segundo mide 9 cm, ¿cuál es la razón de semejanza entre el primero y el segundo?

  1. 9/6 expresada como 6/9 invertida
  2. 2/3 Correct answer.
  3. 3/2
  4. 1/2

Explanation

La razón de semejanza entre el primero y el segundo es el cociente entre lados homólogos: 6/9 = 2/3. El orden de la razón depende de qué figura se toma como referencia.

Question 11Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Una figura se somete primero a una homotecia de razón 2 y después a una homotecia del mismo centro de razón 1/4. ¿Qué transformación resulta de la composición?

  1. Una simetría central respecto del centro.
  2. Una homotecia del mismo centro de razón 1/2. Correct answer.
  3. Una homotecia del mismo centro de razón 8.
  4. Una traslación de vector doble.

Explanation

La composición de homotecias con el mismo centro es otra homotecia de ese centro cuya razón es el producto de las razones: 2 · 1/4 = 1/2. El centro permanece fijo en todas ellas.

Question 12Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una simetría central de centro O, ¿qué rectas quedan invariantes globalmente, es decir, se transforman en sí mismas?

  1. Ninguna recta, porque la simetría central no deja rectas fijas.
  2. Solo las rectas perpendiculares a cualquier diámetro.
  3. Todas las rectas que pasan por O. Correct answer.
  4. Únicamente las rectas horizontales.

Explanation

La simetría central equivale a un giro de 180° alrededor de O, por lo que cada recta que pasa por O se aplica sobre sí misma aunque sus puntos se intercambien. Las rectas que no pasan por O se transforman en paralelas distintas.

Question 13Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se aplica una traslación de vector v seguida de una simetría axial respecto de un eje perpendicular a v. ¿Qué tipo de transformación resulta de la composición?

  1. Una simetría axial respecto de un eje paralelo a v. Correct answer.
  2. Una homotecia de razón −1.
  3. Una traslación de vector 2v.
  4. Un giro de 90°.

Explanation

La composición de una traslación y una simetría axial con eje perpendicular al vector equivale a otra simetría axial cuyo eje es paralelo a v. Es un resultado clásico de la composición de isometrías.

Question 14Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Dado un segmento AB, se construye su división áurea eligiendo el punto P interior tal que AB/AP = AP/PB. Si AB = 10 cm, ¿cuál es aproximadamente AP?

  1. 5,00 cm
  2. 7,07 cm
  3. 6,18 cm Correct answer.
  4. 3,82 cm

Explanation

La sección áurea cumple AP = AB/φ, con φ ≈ 1,618. Así, AP ≈ 10/1,618 ≈ 6,18 cm, que es la parte mayor del segmento.

Question 15Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homología plana, ¿qué condición deben cumplir las rectas que unen cada punto con su homólogo?

  1. Ser perpendiculares al eje de homología.
  2. Pasar todas por un punto fijo llamado centro de homología. Correct answer.
  3. Ser todas paralelas entre sí.
  4. Cortarse en el eje de homología.

Explanation

La homología es una transformación proyectiva en la que las rectas que unen puntos homólogos concurren en un punto fijo, el centro. Además, las rectas homólogas se cortan en el eje.

Question 16Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Un triángulo equilátero de lado 8 cm se transforma mediante una homotecia de razón −0,5. ¿Cuál es el perímetro de la figura imagen?

  1. 6 cm
  2. 24 cm
  3. 48 cm
  4. 12 cm Correct answer.

Explanation

El perímetro original es 24 cm y la homotecia escala longitudes con |k| = 0,5, dando 12 cm. El signo negativo solo afecta a la posición, no al tamaño.

Question 17Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Al construir una figura semejante a otra mediante el método de rayos desde un punto exterior, ¿qué propiedad garantiza que la figura obtenida es semejante a la original?

  1. La coincidencia de los baricentros de ambas figuras.
  2. La proporcionalidad entre las distancias al centro y el paralelismo de los lados homólogos. Correct answer.
  3. La perpendicularidad de los rayos respecto de los lados.
  4. La igualdad de longitudes entre lados correspondientes.

Explanation

El método de rayos desde un centro genera una homotecia: cada punto imagen está sobre el rayo con distancia proporcional y los lados homólogos resultan paralelos. Esa doble condición asegura la semejanza.

Question 18Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una afinidad de eje e y dirección d, ¿qué puntos permanecen fijos?

  1. Solo el punto de intersección de d con e.
  2. Ningún punto del plano permanece fijo.
  3. Todos los puntos del eje de afinidad. Correct answer.
  4. Los puntos del infinito en la dirección d únicamente.

Explanation

En la afinidad, el eje es una recta de puntos dobles: cada punto del eje se transforma en sí mismo. Los puntos fuera del eje se desplazan paralelamente a la dirección dada.

Question 19Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

La razón de semejanza entre dos figuras es 4. Si el área de la mayor es 96 cm², ¿cuál es el área de la menor?

  1. 6 cm² Correct answer.
  2. 12 cm²
  3. 24 cm²
  4. 1,5 cm²

Explanation

La razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza, 16. Por tanto, el área menor es 96/16 = 6 cm².

Question 20Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se aplica a un punto P una simetría axial respecto de un eje r y, a continuación, otra simetría axial respecto de un eje s paralelo a r. ¿Qué transformación resulta?

  1. Un giro de 180° alrededor de cualquier punto de r.
  2. Una traslación perpendicular a ambos ejes de longitud el doble de su separación. Correct answer.
  3. Una simetría central en el punto medio entre los ejes.
  4. Una homotecia de razón −1 respecto del punto medio.

Explanation

Dos simetrías axiales con ejes paralelos componen una traslación en dirección perpendicular a los ejes. La longitud del vector es el doble de la distancia entre r y s.

Question 21Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homología plana con centro V, eje e y un punto A y su homólogo A' dados, ¿cómo se obtiene el homólogo B' de un punto B?

  1. Se aplica a B una simetría respecto del eje e.
  2. Se traza la paralela por B a VA' y se corta con el eje e.
  3. Se traza la recta VB y se corta con la recta que une el punto de corte de AB con e y el punto A'. Correct answer.
  4. Se une B con V y se toma sobre esa recta la distancia VB' = VA'.

Explanation

En la homología, B' debe estar sobre VB y sobre la recta que pasa por A' y por el punto donde AB corta al eje. Esa doble condición determina B' de forma única.

Question 22Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Una figura F se transforma en F' mediante una homotecia de razón k = −3/2 con centro O. ¿Qué relación existe entre las áreas de F y F'?

  1. El área de F' es 2,25 veces el área de F. Correct answer.
  2. El área de F' es 1,5 veces el área de F.
  3. El área de F' es −2,25 veces el área de F.
  4. El área de F' es 3 veces el área de F.

Explanation

El área escala con el cuadrado del valor absoluto de la razón: (3/2)² = 2,25. El signo negativo solo invierte la posición, no produce áreas negativas.

Question 23Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homología plana, ¿qué relación cumplen dos rectas homólogas r y r' cuando no son paralelas?

  1. Forman siempre un ángulo recto.
  2. Se cortan en un punto del eje de homología. Correct answer.
  3. Son siempre paralelas entre sí.
  4. Se cortan en el centro de homología.

Explanation

En la homología, los puntos dobles pertenecen al eje, de modo que si una recta y su homóloga se cortan, el punto de intersección está en el eje. Si son paralelas, se cortan en un punto del infinito del eje.

Question 24Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se compone un giro de 90° con centro O seguido de una simetría central también respecto de O. ¿Qué transformación resulta?

  1. Una simetría axial que pasa por O.
  2. Un giro de 180° alrededor de O.
  3. Un giro de 270° alrededor de O. Correct answer.
  4. Una homotecia de razón −1 con centro O.

Explanation

La simetría central equivale a un giro de 180°, por lo que la composición suma 90° + 180° = 270° alrededor del mismo centro O.

Question 25Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En la construcción de la media proporcional entre dos segmentos a y b mediante el teorema del cateto, ¿qué relación se cumple?

  1. x² = a·b, de modo que x es la media geométrica de a y b. Correct answer.
  2. x = (a + b)/2, es decir, la media aritmética.
  3. x = a + b, ya que la media proporcional es una suma.
  4. x² = a² + b², siguiendo el teorema de Pitágoras.

Explanation

La media proporcional x entre a y b satisface a/x = x/b, de donde x² = a·b. Gráficamente se obtiene como altura o cateto en un triángulo rectángulo construido con esos segmentos.

Question 26Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homotecia de centro O y razón k = 3, un punto A se transforma en A'. Si OA = 4 cm, ¿cuánto mide OA'?

  1. 4 cm
  2. 7 cm
  3. 1,33 cm
  4. 12 cm Correct answer.

Explanation

En una homotecia, la distancia del centro al punto imagen es igual al valor absoluto de la razón multiplicado por la distancia del centro al punto original: OA' = |k| · OA. Por tanto, OA' = 3 · 4 = 12 cm. El signo de la razón indicaría si la imagen está en la misma semirrecta o en la opuesta, pero aquí k es positivo.

Question 27Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una simetría axial respecto de una recta r, ¿qué puntos del plano son fijos?

  1. Los puntos del eje r y su punto medio
  2. Los puntos que pertenecen al eje r Correct answer.
  3. Los puntos de una recta paralela a r
  4. Ningún punto es fijo

Explanation

En una simetría axial, cada punto y su imagen equidistan del eje y la recta que los une es perpendicular a él. Si un punto está sobre el eje, su distancia al eje es cero y coincide con su imagen, por lo que permanece fijo. Los puntos fuera del eje se intercambian con sus simétricos y no son fijos.

Question 28Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se aplica a un punto P una simetría central de centro O y, a continuación, otra simetría central con el mismo centro O. ¿Cuál es la transformación resultante?

  1. La identidad, es decir, el punto vuelve a su posición inicial Correct answer.
  2. Un giro de 180° alrededor de O
  3. Una homotecia de razón -1
  4. Una traslación de vector 2·OP

Explanation

La composición de dos simetrías centrales con el mismo centro equivale a la identidad, porque cada simetría central duplica el vector posición respecto de O y la segunda lo invierte. Así, el punto P vuelve exactamente a su posición original. No se trata de un giro ni de una homotecia, ya que la identidad deja todos los puntos fijos.

Question 29Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una traslación de vector v, ¿qué rectas quedan invariantes globalmente, es decir, se transforman en sí mismas?

  1. Todas las rectas oblicuas a v
  2. Ninguna recta
  3. Las rectas paralelas a v Correct answer.
  4. Todas las rectas perpendiculares a v

Explanation

Una traslación desplaza cada punto una misma distancia en la dirección y sentido de v. Una recta paralela a v se transforma en otra recta paralela a ella; para que coincida consigo misma, debe ser paralela a v y contener al menos un punto fijo, lo que no ocurre salvo que la recta sea paralela a v. En efecto, las rectas paralelas a v se aplican sobre sí mismas (invariantes globalmente), aunque sus puntos se muevan.

Question 30Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se quiere construir la cuarta proporcional de tres segmentos a, b y c. ¿Qué relación debe cumplir el segmento x que se busca?

  1. a/x = b/c
  2. a/b = c/x Correct answer.
  3. a/b = x/c
  4. x/a = b/c

Explanation

La cuarta proporcional de a, b y c es el segmento x que cumple la proporción a/b = c/x, equivalente a a·x = b·c. Al construirla gráficamente mediante el teorema de Tales, se disponen los segmentos sobre dos rectas concurrentes de modo que las razones se igualen. La relación correcta es, por tanto, a/b = c/x.

Question 31Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Dado un segmento AB de 12 cm, se construye su división áurea eligiendo el punto P interior tal que AB/AP = AP/PB. ¿Cuál es la longitud aproximada de AP?

  1. 7,42 cm Correct answer.
  2. 6,00 cm
  3. 8,00 cm
  4. 4,58 cm

Explanation

La división áurea de un segmento de longitud L en la parte mayor AP cumple AP = L·(√5−1)/2 ≈ 0,618·L. Para L = 12 cm, AP ≈ 12 · 0,618 = 7,416 cm, que se redondea a 7,42 cm. La parte menor PB sería aproximadamente 4,58 cm.

Question 32Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homología plana de centro V y eje e, se conocen un punto A y su homólogo A'. ¿Cómo se determina el homólogo B' de otro punto B?

  1. Trazando la recta VB y la recta que une A con B; B' es la intersección de VB con la recta que pasa por A' y el punto de corte de AB con el eje e Correct answer.
  2. Trazando por B una paralela a VA y por A' una paralela a VB
  3. Uniendo B con el centro V y trazando por A' una perpendicular a VB
  4. Trazando la perpendicular desde B al eje e y tomando su simétrica respecto de V

Explanation

Para obtener B' se utiliza que las rectas homólogas se cortan en el eje. Se traza la recta AB y se halla su intersección con el eje e, punto doble. La recta A'B' debe pasar por ese punto doble, y además B' debe estar en la recta VB. Así, B' es la intersección de VB con la recta que une A' y el punto doble.

Question 33Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Dos figuras semejantes tienen una razón de semejanza k = 3/2. Si el área de la figura menor es 20 cm², ¿cuál es el área de la figura mayor?

  1. 45 cm² Correct answer.
  2. 60 cm²
  3. 30 cm²
  4. 26,67 cm²

Explanation

En figuras semejantes, la razón entre áreas es el cuadrado de la razón de semejanza: A_mayor / A_menor = k². Con k = 3/2, k² = 9/4 = 2,25. Por tanto, A_mayor = 20 · 2,25 = 45 cm².

Question 34Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se aplica a un punto P una simetría axial respecto de un eje r y, a continuación, otra simetría axial respecto de un eje s paralelo a r. ¿Qué transformación resulta de la composición?

  1. Una traslación de vector perpendicular a los ejes y de módulo el doble de la distancia entre ellos Correct answer.
  2. Una homotecia de razón -1 con centro en cualquier punto
  3. Una simetría central respecto del punto medio entre los ejes
  4. Una rotación de 180° alrededor de un punto entre los ejes

Explanation

La composición de dos simetrías axiales con ejes paralelos es una traslación. El vector de traslación es perpendicular a los ejes y su módulo es el doble de la distancia que los separa. El sentido depende del orden de las simetrías. No es una rotación ni una homotecia, pues la composición de simetrías axiales paralelas nunca produce giros.

Question 35Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homotecia de centro O y razón k = -2, un segmento AB de longitud 5 cm se transforma en A'B'. ¿Cuál es la longitud de A'B' y qué relación de posición tiene con AB?

  1. 10 cm y es paralelo a AB Correct answer.
  2. 10 cm y es perpendicular a AB
  3. -10 cm y es paralelo a AB
  4. 2,5 cm y es paralelo a AB

Explanation

El valor absoluto de la razón determina el tamaño: |k| = 2, luego A'B' = 2 · 5 = 10 cm. El signo negativo indica que la imagen está en la semirrecta opuesta respecto del centro, pero la dirección se conserva, por lo que A'B' es paralelo a AB. Las longitudes son siempre positivas.

Question 36Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homología plana, dos rectas homólogas r y r' que no son paralelas, ¿qué relación cumplen?

  1. Se cortan en el centro de homología
  2. Son perpendiculares entre sí
  3. Son paralelas a la dirección de homología
  4. Se cortan en un punto del eje de homología Correct answer.

Explanation

En una homología, las rectas homólogas se cortan en el eje de homología, que es la recta de puntos dobles. Por tanto, si r y r' no son paralelas, su intersección pertenece al eje. Esta propiedad es dual de la alineación de puntos homólogos con el centro.

Question 37Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una escala gráfica construida sobre un plano, el segmento que representa 1 metro mide 2,5 cm. Si en el dibujo se mide un tramo de 8 cm, ¿qué longitud real le corresponde?

  1. 2,08 m
  2. 20 m
  3. 3,2 m Correct answer.
  4. 0,32 m

Explanation

La escala es la razón entre la medida del dibujo y la real, de modo que 2,5 cm representan 100 cm y cada centímetro dibujado equivale a 40 cm reales. Aplicando la proporción 2,5/100 = 8/x resulta x = 320 cm, es decir, 3,2 m.

Question 38Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se quiere hallar la media proporcional x entre dos segmentos a = 4 cm y b = 9 cm, es decir, x tal que a/x = x/b. ¿Cuál es el valor de x y qué construcción clásica lo obtiene?

  1. x = 36 cm, obtenido multiplicando a por b
  2. x = 6 cm, obtenido como cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es a + b Correct answer.
  3. x = 13 cm, obtenido sumando a y b
  4. x = 6,5 cm, obtenido como media aritmética de a y b

Explanation

La media proporcional cumple x² = a·b, por lo que x = √(4·9) = 6 cm. Geométricamente se obtiene trazando una semicircunferencia sobre el segmento a + b y levantando la perpendicular en el punto de unión; ese cateto de altura es la media proporcional.

Question 39Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

Se aplica a una figura plana una transformación que conserva la forma pero invierte la orientación de los ángulos, manteniendo todas las distancias entre puntos. ¿De qué transformación se trata y cuál es su elemento característico?

  1. Una traslación, caracterizada por un vector libre
  2. Un giro, caracterizado por su centro y su amplitud
  3. Una homotecia, caracterizada por su centro y su razón
  4. Una simetría axial, caracterizada por su eje de simetría Correct answer.

Explanation

La simetría axial es una isometría que conserva longitudes y ángulos, pero invierte la orientación del plano, por eso se denomina isometría inversa. Su elemento definidor es la recta eje, respecto de la cual cada punto y su imagen equidistan de ella.

Question 40Plane geometry: proportionality, similarity, and geometric transformations

En una homología plana de centro V y eje e se conocen el punto A y su homólogo A'. Para obtener el homólogo B' de otro punto B, ¿qué dos condiciones deben verificarse simultáneamente?

  1. Que A, A', B y B' formen un paralelogramo y que B' equidiste de e y de B
  2. Que VB sea paralela a A'B' y que B' esté sobre la recta AA'
  3. Que B y B' sean simétricos respecto de e y que la recta VB pase por el punto medio de AA'
  4. Que V, B y B' estén alineados y que la recta AB corte al eje e en el mismo punto que A'B' Correct answer.

Explanation

En toda homología, un punto y su homólogo están alineados con el centro V, y las rectas homólogas se cortan en un punto del eje. Por tanto B' se sitúa en la recta VB y, además, la intersección de AB con el eje debe coincidir con la de A'B'.

Question 41Tangencies, technical curves, and conic sections

En una tangencia entre una recta y una circunferencia, ¿qué propiedad geométrica define el punto de tangencia?

  1. El radio trazado hasta el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente Correct answer.
  2. El radio trazado hasta el punto de tangencia forma 45° con la recta tangente
  3. La distancia del centro a la recta tangente es igual al diámetro
  4. La recta tangente pasa siempre por el centro de la circunferencia

Explanation

La tangencia recta-circunferencia exige que el radio en el punto de contacto sea perpendicular a la recta. Por eso la distancia del centro a la recta tangente coincide con el radio, no con el diámetro. Esta perpendicularidad es la base de todas las construcciones de tangencias.

Question 42Tangencies, technical curves, and conic sections

¿Cómo se define una elipse como lugar geométrico?

  1. Conjunto de puntos que equidistan de una recta y de un punto
  2. Conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante Correct answer.
  3. Conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante
  4. Conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es constante

Explanation

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos focos fijos es constante e igual al eje mayor. Esa constante debe ser mayor que la distancia focal. La diferencia constante define la hipérbola y la equidistancia recta-punto define la parábola.

Question 43Tangencies, technical curves, and conic sections

En una parábola, ¿qué relación existe entre un punto cualquiera de la curva, el foco y la directriz?

  1. La distancia al foco es el doble de la distancia a la directriz
  2. La distancia al foco es la mitad de la distancia a la directriz
  3. La suma de distancias al foco y a la directriz es constante
  4. La distancia al foco es igual a la distancia a la directriz Correct answer.

Explanation

La parábola se define por la equidistancia entre el foco y la directriz para todo punto de la curva. El vértice es el punto medio entre foco y directriz. Esta igualdad permite construir la curva por puntos.

Question 44Tangencies, technical curves, and conic sections

¿Qué nombre recibe la recta que, en una hipérbola, pasa por sus dos vértices?

  1. Radio vector
  2. Directriz
  3. Eje focal o eje real Correct answer.
  4. Asíntota

Explanation

El eje real o focal une los dos vértices de la hipérbola y contiene los focos. Las asíntotas son rectas límite que la curva se aproxima sin tocar. La directriz pertenece a la definición focal y no une los vértices.

Question 45Tangencies, technical curves, and conic sections

¿Cuál es el procedimiento correcto para trazar una recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior P?

  1. Trazar la circunferencia de diámetro OP y unir P con sus intersecciones con la circunferencia dada Correct answer.
  2. Trazar la mediatriz del segmento OP y unir P con el centro
  3. Trazar desde P una recta que corte la circunferencia en dos puntos y abatirla
  4. Unir P con el centro y trazar la perpendicular en P

Explanation

Se dibuja la circunferencia auxiliar de diámetro OP, siendo O el centro. Sus intersecciones con la circunferencia dada son los puntos de tangencia, pues el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Uniendo P con esos puntos se obtienen las tangentes.

Question 46Tangencies, technical curves, and conic sections

¿Qué curva técnica se obtiene al hacer rodar sin deslizar una circunferencia sobre una recta?

  1. Cicloide Correct answer.
  2. Evolvente
  3. Espiral de Arquímedes
  4. Hélice

Explanation

La cicloide es la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta. La evolvente se genera al desarrollar un hilo de una curva. La hélice es una curva espacial, no plana.

Question 47Tangencies, technical curves, and conic sections

En el trazado de un óvalo isométrico, ¿qué elementos determinan sus cuatro centros de arco?

  1. Los cuatro vértices del rombo isométrico Correct answer.
  2. Los puntos medios de los lados del cuadrado
  3. Los focos de la elipse equivalente
  4. Las intersecciones de las diagonales con la circunferencia

Explanation

El óvalo isométrico se construye a partir de un rombo de 120° y 60°. Los vértices de los ángulos obtusos y los de los ángulos agudos actúan como centros de los cuatro arcos. Así se obtiene una curva de cuatro centros que sustituye a la elipse isométrica.

Question 48Tangencies, technical curves, and conic sections

En una tangencia entre dos circunferencias, ¿dónde se sitúa el punto de tangencia?

  1. Sobre la recta que une los centros, alineado con ellos Correct answer.
  2. En la intersección de las tangentes exteriores
  3. En el extremo del diámetro perpendicular a la línea de centros
  4. En el punto medio del segmento que une los centros

Explanation

En la tangencia entre circunferencias, exterior o interior, el punto de contacto está alineado con los dos centros. La distancia entre centros es la suma de radios si es exterior y la diferencia si es interior. Por eso el punto de tangencia pertenece a la línea de centros.

Question 49Tangencies, technical curves, and conic sections

Dada una elipse de semieje mayor a = 5 cm y semieje menor b = 3 cm, ¿cuál es la distancia focal 2c?

  1. 16 cm
  2. 4 cm
  3. 2 cm
  4. 8 cm Correct answer.

Explanation

En la elipse se cumple a² = b² + c², de modo que c = √(25 − 9) = 4 cm. La distancia focal es 2c = 8 cm. Conviene distinguir entre el semieje c y la distancia focal completa.

Question 50Tangencies, technical curves, and conic sections

Se desea trazar las rectas tangentes a una circunferencia de radio r = 2 cm desde un punto P situado a 6 cm del centro. ¿Cuál es la longitud de cada segmento tangente?

  1. 2√2 cm
  2. 4√2 cm Correct answer.
  3. √32 cm
  4. 8 cm

Explanation

El segmento tangente forma un triángulo rectángulo con el radio y la distancia al centro. Aplicando Pitágoras, t = √(6² − 2²) = √32 = 4√2 cm. El radio es perpendicular a la tangente en el punto de contacto.