Arco elíptico y enlaces tangentes en la entrada de un museo
La entrada de un museo se resuelve con un arco de 6,00 m de luz y 1,80 m de flecha sobre el que apoya un dintel recto; a cada lado, una rampa recta de pendiente constante enlaza con un arco circular de 2,50 m de radio que arranca en el punto medio del estribo. El enlace debe ser tangente, sin vértice, para que el pavimento no presente aristas, y el radio de acuerdo no puede superar los 4 m por el ancho de la acera. El taller de maquetas propone trazar el arco como óvalo de cuatro centros para poder cortar las plantillas con compás y ahorrar tiempo; la dirección facultativa exige que la curva real sea una elipse y admite una tolerancia máxima de 12 mm entre ambas curvas. La carpintería pétrea necesita, además, la posición exacta de dos juntas de despiece situadas a 1,50 m del eje vertical del arco, medidas sobre la línea de arranque. Se trabaja a escala 1:50 con compás, regla y escuadra, sin plantillas de curvas ni calculadora.
1. Decide si el óvalo de cuatro centros es admisible frente a la tolerancia de 12 mm: describe cómo se traza, dónde se separa de la elipse y cómo se verifica el error.
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Datos y trazado. Luz 6,00 m → semieje a = 3,00 m; flecha 1,80 m → semieje b = 1,80 m. El óvalo de cuatro centros se traza con dos arcos de radio mayor centrados en el eje mayor y dos de radio menor centrados en el eje menor; los puntos de unión están en las rectas que unen cada centro mayor con cada centro menor. Por construcción, los arcos pasan por la clave, por los dos arranques y por los extremos del eje menor.
Dónde falla. Por tanto, óvalo y elipse coinciden en los cuatro puntos de los ejes y en sus tangentes (horizontal en la clave, vertical en los arranques): la desviación es nula ahí y máxima entre esos puntos, cerca de las uniones de los arcos, es decir, en los riñones. La elipse se traza por circunferencias concéntricas con 8-12 puntos por cuadrante y se compara en esas uniones.
Decisión. A 1:50, 12 mm equivalen a 0,24 mm en el papel, menos que el grosor de una línea de 0,25 mm: la tolerancia no es verificable en el plano. Debe comprobarse a 1:1 sobre la plantilla (12 mm reales) y, si se supera, rechazar el óvalo: además de la desviación, cambia bruscamente de curvatura en las uniones y deja un quiebro visible en un arco de piedra pulida.
2. Calcula y construye la posición de las juntas de despiece situadas a 1,50 m del eje vertical del arco, e indica un criterio de reparto de juntas.
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Cálculo. Con el origen en el centro del arco, la elipse cumple x²/a² + y²/b² = 1. Para x = 1,50 m: y = b·√(1 − x²/a²) = 1,80·√(1 − 0,25) = 1,80·0,866 = 1,559 m sobre la línea de arranque. A 1:50 son 31,2 mm en el dibujo.
Construcción gráfica. Método de circunferencias concéntricas: se trazan las circunferencias de radios a y b; se lanza un rayo desde el centro con cos θ = x/a = 0,5, es decir θ = 60°; el rayo corta la circunferencia mayor en P y la menor en Q; la vertical por P y la horizontal por Q se cortan en el punto de la elipse (1,50; 1,559). Se repite con el rayo simétrico para la junta del otro lado.
Criterio de diseño. Las juntas se reparten simétricas respecto a la clave y se evita una junta en el punto de máxima curvatura, donde la plantilla y la separación se ven más. Con el mismo criterio se comprueba que ninguna junta caiga sobre la unión de los arcos del óvalo, que es la zona de mayor riesgo de error si el taller trabaja con la plantilla aproximada.
3. Explica cómo se determina el enlace tangente entre la rampa recta y el arco de 2,50 m, y qué condición debe cumplirse si el enlace fuese entre dos arcos.
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Enlace recta-arco. El punto de tangencia T es el pie de la perpendicular trazada desde el centro O del arco a la recta de la rampa. No se elige a ojo ni en el punto más próximo: si el radio no es perpendicular a la recta en T, aparecen dos tangentes y un vértice, es decir, un cambio brusco de dirección que el pavimento acusa como arista. Con R = 2,50 m el enlace es válido porque no supera el límite de 4 m y la perpendicular cae dentro del tramo de rampa disponible.
Enlace arco-arco. La tangencia exige que los centros y el punto de tangencia estén alineados: |O1O2| = R − r si la tangencia es interior (curvas del mismo lado) y |O1O2| = R + r si es exterior (curvas en sentidos opuestos, con punto de inflexión en la unión).
Comprobación a escala. A 1:50, R = 2,50 m son 50 mm de radio: se traza con el compás y la perpendicular se verifica con la escuadra. Conviene comprobar además que el arco no invade el estribo del arco elíptico ni el dintel.