Cumbrera de dos faldones y altura libre bajo cubierta
En la cubierta de un pabellón se cruzan dos faldones planos. El faldón α viene definido por su línea de máxima pendiente, que pasa por A(0, 0, 4) y B(3, 4, 7); el faldón β contiene el alero horizontal que va de C(0, 10, 5) a D(12, 10, 5) y asciende hacia el interior (hacia y menor) con una pendiente del 40 %. Las coordenadas se expresan en metros (x anchura, y fondo, z cota) y el forjado del desván está a cota 5,00. La propiedad exige 2,10 m de altura libre mínima en todo el desván y ha fijado el eje de una chimenea en el punto P(4, 6), con la boca a cota 6,00. El aparejador debe comprobar si la cumbrera deja espacio suficiente en P y si el eje de la chimenea atraviesa la cubierta dentro del faldón correcto. Se advierte de que el faldón de mayor cota en un punto no es necesariamente el que cubre ese punto, y de que las medidas tomadas en proyección no son medidas reales.
1. Determina la cumbrera (intersección de los dos faldones) indicando el método gráfico y la expresión analítica de la recta.
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Método. Se emplean planos horizontales auxiliares: en cada cota z se dibuja la horizontal de α y la horizontal de β, y su intersección es un punto de la cumbrera. Dos cotas dan dos puntos y la recta queda definida; en el plano se traza su proyección horizontal y se traslada la cota de cada punto.
Ecuaciones de los faldones. α contiene la línea de máxima pendiente A(0,0,4)-B(3,4,7), de pendiente 3/5 = 60 %; sus horizontales son perpendiculares a la proyección de esa línea (dirección (4,−3)), lo que da z = (9x + 12y + 100)/25. β contiene el alero z = 5 en y = 10 y asciende hacia y menor con el 40 %: z = 9 − 0,4y.
Puntos de la cumbrera. A z = 7: horizontal de α 9x + 12y = 75, horizontal de β y = 5 → x = 1,667; punto (1,667; 5; 7). A z = 8: 9x + 12y = 100 e y = 2,5 → x = 7,778; punto (7,778; 2,5; 8). La cumbrera es la recta que los une: x = (125 − 22y)/9, z = 9 − 0,4y. En planta entra por (0; 5,68) y sale por x = 12 en y = 0,77: hay que comprobar que ese tramo cae dentro de la planta del pabellón.
2. Comprueba si en P(4, 6) se cumplen los 2,10 m de altura libre sobre el forjado de cota 5,00 y si la chimenea atraviesa el faldón correcto.
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Cotas de cubierta sobre P. α: z = (36 + 72 + 100)/25 = 8,32 m. β: z = 9 − 0,4·6 = 6,60 m.
Qué faldón cubre P. Hay que situar P respecto a la cumbrera: para x = 4, la cumbrera está en y = (125 − 36)/22 = 4,05. Como P tiene y = 6 > 4,05, cae del lado de β; el faldón α no existe por encima de ese punto. La cubierta está, por tanto, a 6,60 m y no a 8,32 m: tomar el valor mayor es el error típico y produce un informe falso.
Altura libre. 6,60 − 5,00 = 1,60 m, inferior a los 2,10 m exigidos: faltan 0,50 m. La boca de la chimenea a cota 6,00 queda 0,60 m por debajo de la cara inferior de la cubierta, de modo que el eje atraviesa el faldón β (correcto), pero la chimenea no vuela por encima del paño: hay que prolongarla hasta unos 7,00 m y resolver el paso con una zapata de cubierta.
3. Si el faldón β pasa a tener una pendiente del 55 %, recalcula la altura libre en P y la nueva cumbrera, y señala qué consecuencias deben revisarse.
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Nuevo faldón β. z = 5 + 0,55·(10 − y) = 10,5 − 0,55y. Sobre P(4,6): z = 10,5 − 3,30 = 7,20 m; altura libre 7,20 − 5,00 = 2,20 m ≥ 2,10 m. Cumple, con solo 0,10 m de margen.
Nueva cumbrera. Igualando con α: 25z = 9x + 12y + 100 y z = 10,5 − 0,55y → 262,5 − 13,75y = 9x + 12y + 100 → 9x + 25,75y = 162,5. Para x = 4, y = 4,91 (antes 4,05) y z = 7,80 (antes 7,38): la cumbrera se desplaza 0,86 m hacia el interior y sube 0,42 m.
Consecuencias a revisar. Al elevar la pendiente, β gana cota en toda su extensión: el faldón α pierde superficie útil y hay que comprobar que la cumbrera sigue dentro de la planta (entra por y = 6,31 en x = 0) y que el nuevo paño no supera la cota del alero de α. Alternativa menos agresiva: mantener el 40 % y bajar el forjado a 4,50 m solo en la franja de 2 m alrededor de P, resolviendo el escalón estructuralmente.