Panel perpendicular a un conducto: distancias reales y condiciones incompatibles
Un panel acústico triangular debe quedar perpendicular a la dirección de un conducto de ventilación definido por los puntos M(2, 3, 4) y N(8, 7, 5) (metros: x anchura, y fondo, z cota). El panel pasa por Q(5, 8, 6) y su borde inferior debe ser horizontal y apoyar en el paramento vertical x = 8. En la sala hay un punto fijo R(0, 1, 2), extremo de una pasarela de mantenimiento, y la normativa exige que ese punto quede al menos a 3,50 m de la cara del panel, pero también que la distancia libre al eje del conducto no baje de 2,00 m para permitir el paso de una persona. El proyectista ha medido sobre el plano las distancias en proyección y ha concluido que todo cumple, sin comprobar magnitudes reales. Se pide revisar el cálculo, decidir si la solución es viable y detectar cualquier incompatibilidad entre las condiciones impuestas antes de enviar el plano a taller.
1. Determina la ecuación del plano del panel y la distancia real desde R a ese plano, explicando por qué la medida tomada en proyección no sirve.
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Plano del panel. La normal es la dirección del conducto: MN = (6, 4, 1). El plano que pasa por Q(5,8,6) es 6(x − 5) + 4(y − 8) + 1(z − 6) = 0, es decir 6x + 4y + z = 68.
Distancia real. d = |6·0 + 4·1 + 2 − 68| / √(36 + 16 + 1) = 62/√53 = 62/7,28 = 8,52 m.
Por qué no vale la proyección. En el plano se mide la distancia entre R y la traza del plano, pero esa magnitud es la proyección de la verdadera y siempre es menor o igual: si la perpendicular tiene componente fuera del plano de proyección, su proyección se acorta. El procedimiento gráfico correcto es poner el plano de canto mediante cambio de plano (o abatirlo) y medir la perpendicular en verdadera magnitud; el cálculo numérico sirve de comprobación.
Resultado. 8,52 m ≥ 3,50 m: la condición de distancia al panel se cumple con holgura.
2. Comprueba la distancia libre al eje del conducto y decide si la solución es viable. ¿Coincide con la distancia al panel?
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Distancia de un punto a una recta. Se mide sobre la perpendicular común, que no coincide con la perpendicular al plano. Con M(2,3,4) como origen: v = MN = (6,4,1), w = R − M = (−2,−2,−2); d = |w × v|/|v| = |(6,−10,4)|/7,28 = 12,33/7,28 = 1,69 m.
Construcción gráfica. Se traza por R un plano perpendicular al conducto (sirve el propio plano del panel), se halla su intersección con la recta MN -punto S- y se mide RS en verdadera magnitud por cambio de plano o abatimiento: ese segmento es la perpendicular común.
Consecuencia. 1,69 m < 2,00 m: la condición de paso libre no se cumple, aunque la distancia al panel sea de 8,52 m. El error de partida es doble: medir en proyección y medir la distancia al elemento equivocado, ya que el requisito de paso se refiere al eje del conducto. No basta con girar el panel (la perpendicularidad al conducto es condición de diseño) ni con desplazarlo a lo largo del conducto, que no altera nada: hay que reubicar el extremo de la pasarela o interrumpir el paso bajo el panel.
3. Analiza si el borde inferior horizontal puede apoyar realmente en el paramento x = 8 y propón una solución si las condiciones son incompatibles.
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Intersección con el paramento. El panel corta a x = 8 en la recta 48 + 4y + z = 68 → z = 20 − 4y, de dirección (0, 1, −4): no es horizontal, su pendiente es del 400 %.
Por qué es inevitable. Las rectas horizontales del panel son perpendiculares a la proyección horizontal de su normal: 6dx + 4dy = 0 → dirección (4, −3, 0), que no es paralela al paramento porque tiene componente en x. Una recta horizontal del panel corta a x = 8 en un solo punto, nunca se apoya en él. Para que la intersección fuese horizontal, la normal del panel tendría que tener componente y nula, y entonces dejaría de ser perpendicular al conducto (6,4,1).
Diagnóstico y arreglo. El enunciado está sobrecondicionado: perpendicularidad al conducto y borde horizontal apoyado en x = 8 son incompatibles. Opciones: (a) mantener la perpendicularidad y resolver el apoyo con una pieza en cuña que absorba el desnivel de 4 m por metro; (b) girar el paramento 36,87° en planta (ángulo de la dirección horizontal (4,−3,0) con el eje x), con lo que el borde horizontal sí puede apoyar; (c) aceptar que el borde inferior no sea horizontal. La decisión debe consultarse con el proyectista antes de enviar el plano a taller.