Geometría plana: proporcionalidad, semejanza y transformaciones geométricas
Este bloque mide si sabes resolver problemas de proporción y de transformación sin coordenadas, con una construcción auxiliar limpia y justificada. En la prueba se concreta en ejercicios como dividir un segmento en partes iguales, obtener la cuarta, tercera o media proporcional, construir un rectángulo áureo o transformar una figura mediante homotecia, inversión o homología.
Proporcionalidad y semejanza
- Teorema de Tales: un haz de rectas paralelas corta a dos transversales en segmentos proporcionales; es la base para dividir un segmento en n partes iguales y para la cuarta proporcional (a/b = c/x) y la tercera (a/b = b/x).
- Media proporcional x con x² = a·b: se colocan a y b consecutivos sobre una recta, se traza el semicírculo de diámetro (a+b) y la perpendicular en la unión da x. Se apoya en la altura del triángulo rectángulo: h² = m·n.
- Sección áurea: el punto P divide AB con AB/AP = AP/PB ≈ 1,618; de ella salen el rectángulo áureo y la espiral.
- Semejanza de razón k: ángulos iguales y lados homólogos proporcionales; perímetros ×k, áreas ×k², volúmenes ×k³. Una escala 1:5 implica k = 0,2.
Transformaciones
- Traslación (vector), giro (centro, ángulo, sentido) y simetría (axial: el eje es perpendicular al segmento que une punto e imagen; central: el centro es el punto medio).
- Homotecia de centro O y razón k: los puntos homólogos están alineados con O y los lados son paralelos; con k negativa la figura queda al otro lado de O e invertida. Las áreas varían con k².
- Inversión de centro O y potencia k: OA·OA' = k. La inversa de una recta que no pasa por O es una circunferencia que pasa por O, y viceversa; los puntos de la circunferencia de radio √k son fijos.
- Homología plana (centro, eje, rectas límite): cada recta y su homóloga se cortan en el eje, y las rectas que unen puntos homólogos pasan por el centro.
Ejemplo resuelto
Media proporcional entre a = 4 cm y b = 9 cm. Se traza una recta y se llevan consecutivos OA = 4 cm y AB = 9 cm; con diámetro OB = 13 cm se dibuja un semicírculo; la perpendicular por A corta al arco en P. Entonces AP² = OA·AB = 36, luego AP = 6 cm. El razonamiento: el triángulo OPB es rectángulo en P y AP es su altura sobre la hipotenusa, que cumple h² = m·n.
Errores que cuestan puntos
- Colocar a y b superpuestos en lugar de consecutivos: el resultado deja de ser √(ab).
- Confundir media proporcional con tercera proporcional.
- Aplicar k en lugar de k² al comparar áreas, o invertir la razón en una escala de reducción.
- En homotecia con k negativa, no invertir la figura respecto del centro.
- En inversión, olvidar que una recta que pasa por el centro es invariante.