Tangencias: recta-circunferencia, circunferencia-circunferencia, enlaces y potencia
Las tangencias son el dominio donde más puntos se pierden por imprecisión. La prueba pide resolver tangencias recta-circunferencia y circunferencia-circunferencia, construir enlaces y empalmes de radio conocido y aplicar potencia, eje radical y centro radical a piezas y curvas técnicas.
Reglas que resuelven casi todo
- Recta tangente a una circunferencia: es perpendicular al radio en el punto de tangencia; el centro está en la perpendicular a la recta por ese punto.
- Circunferencias tangentes: centro, punto de tangencia y centro de la otra están alineados; la distancia entre centros vale r1 + r2 (tangencia exterior) o |r1 − r2| (interior).
- Centro de circunferencia tangente a dos rectas: bisectrices del ángulo. Si es tangente a una recta y a una circunferencia, su centro recorre una parábola de focos el centro dado y su simétrico respecto a la recta.
- Tangentes desde un punto P exterior a una circunferencia de centro O y radio r: se dibuja la circunferencia de diámetro OP; sus cortes con la dada son los puntos de tangencia, porque el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
- Tangentes comunes a dos circunferencias: se reducen a tangentes desde un punto mediante el centro de homotecia (externo para las exteriores, interno para las interiores).
- Potencia de P respecto a una circunferencia: PT² = PO² − r². El eje radical de dos circunferencias es la recta perpendicular a la línea de centros cuyos puntos tienen igual potencia; el centro radical es la intersección de dos ejes radicales.
Enlaces
Un arco de enlace de radio R es tangente a los dos elementos, y su centro se localiza por paralelas a las rectas (a distancia R) o por circunferencias concéntricas de radio r ± R. Los puntos de enlace se obtienen trazando la perpendicular a la recta o la recta de centros; el arco se dibuja solo entre esos dos puntos, nunca más allá.
Ejemplo resuelto
Tangentes a la circunferencia O(r = 20 mm) desde P con OP = 50 mm. Se dibuja la circunferencia de diámetro OP; sus intersecciones T1 y T2 con la dada son los puntos de tangencia. La longitud de la tangente vale √(50² − 20²) = √2100 ≈ 45,8 mm, medida que sirve para comprobar el trazado. El razonamiento: OT es perpendicular a PT porque el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Errores que cuestan puntos
- No marcar ni nombrar los puntos de tangencia: se califica el punto exacto.
- Trazar el arco de enlace hasta el cruce con la recta en lugar de hasta la perpendicular.
- Elegir la solución interior cuando el enunciado pide la exterior, o no dibujar las dos cuando se piden ambas.
- Confiar en la vista: una tangencia que no pasa por la recta de centros está mal.