Curvas técnicas y cónicas: construcción, elementos y tangentes
Este bloque evalúa la construcción y el trazado de cónicas (elipse, parábola, hipérbola) con sus tangentes, y de curvas técnicas (óvalo, ovoide, espirales, cicloide) con sus aplicaciones al diseño. La prueba suele pedir construir la curva dados focos y eje, o trazar la tangente en un punto de ella.
Cónicas: definiciones y elementos
- Elipse: PF + PF' = 2a; ejes 2a y 2b, con a² = b² + c²; circunferencia principal (centro O, radio a) y circunferencia focal (radio c). La tangente en P es la bisectriz exterior de los radios vectores PF y PF'.
- Parábola: PF es igual a la distancia a la directriz; eje perpendicular a la directriz, vértice y parámetro. La tangente en P es la bisectriz del ángulo entre PF y la paralela al eje por P; la tangente en el vértice es perpendicular al eje.
- Hipérbola: |PF − PF'| = 2a; asíntotas por el centro, con c² = a² + b².
- Construcción por puntos: se divide el eje mayor y se cortan arcos de radios r y 2a − r trazados desde F y F' respectivamente.
Curvas técnicas
- Óvalo: curva cerrada con dos ejes de simetría, construida con cuatro centros situados sobre el eje mayor; los arcos enlazan sin formar vértice.
- Ovoide: un solo eje de simetría, con semicircunferencia en un extremo y eje menor; también se construye con cuatro centros.
- Espiral de Arquímedes: el radio crece proporcionalmente al ángulo. Voluta jónica: arcos de circunferencia con centros en un triángulo. Cicloide: trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda sobre una recta.
Ejemplo resuelto
Elipse con 2a = 80 mm y distancia focal FF' = 40 mm. Entonces a = 40, c = 20 y b = √(40² − 20²) = √1200 ≈ 34,6 mm, que es el semieje menor. Se dibujan los ejes, se sitúan los focos a 20 mm del centro y se obtienen puntos tomando centros en F y F': para cada r, arcos de radio r desde F y de 2a − r desde F'. Con dos puntos simétricos se traza la tangente, bisectriz exterior de los radios vectores.
Errores que cuestan puntos
- Llamar elipse a un óvalo de cuatro centros: el óvalo es una curva técnica y no una elipse exacta.
- Confundir óvalo (dos ejes de simetría) con ovoide (uno solo).
- Trazar la tangente con la bisectriz interior en lugar de la exterior.
- Dibujar la parábola sin marcar foco, directriz y vértice, o con el eje mal orientado.