Sistema diédrico: paralelismo, perpendicularidad, distancias y verdaderas magnitudes
Este bloque examina relaciones de paralelismo y perpendicularidad, el cálculo de distancias y la obtención de verdaderas magnitudes mediante métodos auxiliares. Aparece en ejercicios de perpendicularidad a un plano, mínima distancia entre rectas que se cruzan y abatimientos o giros de figuras planas.
Paralelismo y perpendicularidad
- Recta paralela a plano si es paralela a una recta contenida en él; plano paralelo a plano si contiene dos rectas que se cortan, paralelas al otro plano.
- Recta perpendicular a plano: sus proyecciones son perpendiculares a las trazas homónimas (r' ⊥ α1 y r'' ⊥ α2). Recíprocamente, si un plano contiene una recta perpendicular a otro, ambos planos son perpendiculares.
- Teorema del ángulo recto: dos rectas perpendiculares solo se ven perpendiculares si al menos una es paralela al plano de proyección; en caso contrario hay que abatir.
- Dos rectas que se cruzan no determinan plano; su perpendicular común exige un plano proyectante auxiliar.
Distancias y verdaderas magnitudes
- Verdadera magnitud de un segmento: triángulo rectángulo con catetos iguales a la proyección y a la diferencia de cotas (o de alejamientos).
- Distancia punto-plano: recta perpendicular por el punto, intersección con el plano y VM del segmento. Entre planos paralelos se opera igual con un punto cualquiera.
- Distancia punto-recta y entre rectas paralelas: perpendicular por el punto o plano perpendicular a la recta dada.
- Abatimiento sobre una traza, cambio de plano y giro: tres vías para poner un plano o una recta en posición favorable; el abatimiento conserva la cota relativa de cada punto.
Ejemplo resuelto
Segmento AB con A'B' = 40 mm y diferencia de cotas 30 mm. Se construye un triángulo rectángulo con un cateto igual a A'B' y el otro igual a la diferencia de cotas; la hipotenusa es la verdadera magnitud: √(40² + 30²) = 50 mm. Razonamiento: al abatir el plano vertical que contiene la recta, la proyección horizontal y el desnivel se convierten en los dos catetos, y la hipotenusa es el segmento real. El mismo esquema sirve con la diferencia de alejamientos.
Errores que cuestan puntos
- Suponer perpendicularidad entre rectas porque sus proyecciones lo parezcan, sin cumplir el teorema del ángulo recto.
- Restar cotas donde hay que restar alejamientos.
- Abatir respecto de una traza que no pertenece al plano que contiene la figura.
- Medir distancias sobre la proyección en lugar de sobre la verdadera magnitud.