Plantilla heptagonal: ¿qué procedimiento cumple la tolerancia de 0,2 mm?
En el taller del centro se necesita una plantilla metálica con forma de heptágono regular inscrito en una circunferencia de 45 mm de radio, que se usará como guía de una fresadora. El mecanizado admite un error máximo de 0,2 mm en la posición de cualquier vértice. El alumno dispone de compás, regla graduada en milímetros (apreciación 0,5 mm) y transportador de ángulos (apreciación 0,5°), pero no de calculadora programable ni de ordenador en el aula. Un compañero propone dividir un diámetro en siete partes iguales por el teorema de Tales y unir esas divisiones con el centro, afirmando que así se obtienen siete ángulos centrales iguales de 51,43°; otro sugiere girar 51,5° con el transportador a partir de un radio. El profesor pide razonar el procedimiento, cuantificar el error que se acumula y decidir si la plantilla puede fabricarse con esos medios o debe encargarse a partir de coordenadas calculadas.
1. Calcula el ángulo central, el lado y la apotema del heptágono y comprueba numéricamente si el reparto por Tales produce ángulos centrales iguales.
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Elementos exactos (R = 45 mm):
- Ángulo central: α = 360°/7 = 51,4286°.
- Lado: s = 2R·sen(α/2) = 90·sen 25,7143° = 90·0,433884 = 39,05 mm.
- Apotema: a = R·cos(α/2) = 45·0,900969 = 40,54 mm.
- Ángulo interior: (7−2)·180°/7 = 128,571°; diagonal corta: 2R·sen α = 90·0,781831 = 70,36 mm.
Comprobación del método de Tales. Al dividir el diámetro en 7 partes, los puntos quedan en x = −45 + (90/7)k. El ángulo central de cada radio es θ = arccos(x/45):
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| x (mm) | −45,00 | −32,14 | −19,29 | −6,43 |
| θ | 0° | 44,42° | 64,62° | 81,79° |
| Δθ | - | 44,42° | 20,20° | 17,17° |
Los incrementos no son constantes, así que la afirmación es falsa: Tales reparte longitudes sobre una recta, no arcos. Solo habría ángulos iguales si los puntos de división estuvieran sobre la circunferencia. El error llega a superar los 7° en un solo paso, de modo que ese camino debe descartarse.
2. Con la tolerancia de 0,2 mm y R = 45 mm, determina el error angular máximo admisible (total y por paso) y decide si el transportador o el compás con regla pueden cumplirla.
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Tolerancia angular. Un desplazamiento de 0,2 mm sobre la circunferencia equivale a Δθ = 0,2/45 = 0,004444 rad = 0,2546° en total. Repartido entre los siete pasos: 0,0364° por paso ≈ 2,2′.
Transportador (0,5°). Acumula 7·0,5° = 3,5°, es decir, 45·3,5·π/180 = 2,75 mm de desviación. Es unas 14 veces la tolerancia: no sirve.
Compás con regla (0,5 mm). El error de apertura se convierte en error angular mediante ds/dθ = R·cos(α/2) = 40,54 mm/rad: δθ = 0,5/40,54 = 0,01233 rad = 0,71° por paso. El defecto de cierre sería del orden de 7·0,5 = 3,5 mm, aunque al cerrar se reparte; aun así el residuo queda muy por encima de 0,2 mm.
Conclusión razonada. Ningún procedimiento manual cumple la tolerancia, y además el heptágono no es construible con regla y compás (7 no es primo de Fermat), por lo que tampoco existe una construcción exacta que buscar. La plantilla debe generarse desde coordenadas calculadas (CAD y posterior corte por CNC o fresadora). Como solución de compromiso en el aula: trazar a escala 10:1 y repartir el error de cierre, lo que rebaja el residuo real hasta el orden de 0,1-0,2 mm, siempre declarándolo en la memoria.
3. Explica cómo verificarías la plantilla ya trazada y por qué el cierre aparente del polígono no garantiza su precisión.
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Por qué el cierre engaña. Si se camina con el compás, un lado ligeramente largo se compensa con otro corto y el último vértice puede caer casi sobre el primero: el polígono cierra, pero girado y con radios distintos. El cierre solo detecta el error neto, no el error distribuido.
Verificación por magnitudes independientes (ninguna de ellas se usa en el trazado):
- Los siete lados deben medir 39,05 mm ± 0,2 mm.
- La distancia centro-vértice debe ser 45,00 mm en los siete.
- La distancia entre caras paralelas: 2a = 81,09 mm.
- Las diagonales cortas: 70,36 mm.
- La suma de ángulos interiores, medida con transportador sobre dos o tres vértices alternos, debe dar 128,57° de media.
Si dos de estos controles independientes coinciden dentro de tolerancia, el trazado es aceptable; si el cierre es bueno pero la apotema se desvía, el polígono está rotado o escalado y hay que rehacerlo.