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PAU Technical Drawing II (Andalusia) practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo, ¿cómo se denomina al punto donde se cortan las tres mediatrices de sus lados?

  1. Incentro
  2. Baricentro
  3. Ortocentro
  4. Circuncentro Correct answer.

Explanation

Las mediatrices de los lados son las rectas perpendiculares a cada lado por su punto medio, y su intersección equidista de los tres vértices. Ese punto es el centro de la circunferencia circunscrita y recibe el nombre de circuncentro. En un triángulo rectángulo coincide con el punto medio de la hipotenusa.

Question 2Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

¿Qué condición deben cumplir tres segmentos de longitudes a, b y c para poder formar un triángulo?

  1. Que cada uno sea menor que la suma de los otros dos Correct answer.
  2. Que el mayor sea igual a la suma de los otros dos
  3. Que los tres segmentos tengan longitudes iguales
  4. Que la suma de dos cualesquiera sea menor que el tercero

Explanation

La desigualdad triangular exige que cada lado sea estrictamente menor que la suma de los otros dos; de lo contrario los segmentos no cierran una figura. Si un lado iguala la suma de los otros dos, los puntos quedan alineados y el triángulo es degenerado. Esta comprobación es previa a cualquier construcción.

Question 3Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se construye un triángulo conociendo el lado a = 6 cm y los ángulos B = 45° y C = 60°. ¿Cuántos triángulos distintos cumplen esos datos?

  1. Dos no congruentes
  2. Ninguno, porque los ángulos no suman 180°
  3. Infinitos, por semejanza
  4. Uno solo Correct answer.

Explanation

Conocidos dos ángulos queda determinado el tercero, A = 75°, y con un lado fijado el triángulo queda definido salvo congruencia. El caso lado-ángulo-ángulo (ALA con el lado comprendido entre ambos ángulos conocidos) admite solución única. Por ello la construcción con regla y compás es directa y no presenta ambigüedad.

Question 4Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados?

  1. (n − 2) · 180° Correct answer.
  2. n · 180°
  3. (n − 2) · 90°
  4. (n + 2) · 180°

Explanation

Al descomponer el polígono en triángulos desde un vértice se obtienen n − 2 triángulos, cada uno con 180°. De ahí la fórmula (n − 2) · 180°, válida para cualquier polígono convexo. Para un hexágono da 720°.

Question 5Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un paralelogramo, ¿qué relación existe entre dos ángulos consecutivos?

  1. Son suplementarios Correct answer.
  2. Son complementarios
  3. Son opuestos por el vértice
  4. Son iguales

Explanation

En todo paralelogramo los lados son paralelos dos a dos, y dos ángulos consecutivos son ángulos internos entre paralelas cortadas por una transversal. Por ello suman 180°, es decir, son suplementarios. Los ángulos opuestos, en cambio, son iguales.

Question 6Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

¿Qué define a un trapecio isósceles frente a otros trapecios?

  1. Tiene los cuatro lados iguales
  2. Tiene los lados no paralelos de igual longitud Correct answer.
  3. Tiene los cuatro ángulos rectos
  4. Tiene las diagonales perpendiculares

Explanation

El trapecio isósceles se caracteriza por tener iguales los lados no paralelos, llamados oblicuos. Como consecuencia, los ángulos de cada base son iguales y las diagonales tienen la misma longitud. Los cuatro lados iguales corresponden al rombo.

Question 7Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Para construir un cuadrado inscrito en una circunferencia con regla y compás, ¿qué trazado resulta más directo?

  1. Trazar la bisectriz de un ángulo central de 60°
  2. Trazar un diámetro y dividirlo en tres partes iguales
  3. Trazar las tangentes en los extremos de un diámetro
  4. Trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus extremos Correct answer.

Explanation

Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro arcos iguales de 90°, y sus extremos son los vértices del cuadrado inscrito. Basta con unir esos cuatro puntos consecutivamente. La mediatriz de un diámetro permite obtener la perpendicular con compás.

Question 8Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

¿Cómo se llama el polígono regular cuyos ángulos centrales miden 45°?

  1. Dodecágono
  2. Octógono Correct answer.
  3. Hexágono
  4. Decágono

Explanation

El ángulo central de un polígono regular de n lados vale 360°/n. Si ese ángulo es 45°, entonces n = 360/45 = 8, es decir, un octógono. Este dato es el punto de partida habitual para inscribirlo en una circunferencia.

Question 9Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Dado un segmento AB de 8 cm, se construye su mediatriz. ¿Qué propiedad cumple cualquier punto P de esa mediatriz?

  1. Forma un ángulo recto en A
  2. Está a 4 cm de A
  3. Pertenece al segmento AB
  4. Equidista de A y de B Correct answer.

Explanation

La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Por eso PA = PB para todo punto de ella, y de ahí su uso para trazar perpendiculares y centros de circunferencias. La distancia concreta depende de la posición de P.

Question 10Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se conocen dos lados de un triángulo, b = 7 cm y c = 5 cm, y el ángulo opuesto al lado menor, C = 40°. ¿Qué debe analizarse antes de trazar la figura?

  1. Si los tres ángulos suman más de 180°
  2. Si el lado b es mayor que la suma de los otros
  3. Nada, la solución es siempre única
  4. El caso ambiguo, que puede dar dos, una o ninguna solución Correct answer.

Explanation

Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos se plantea el caso ambiguo: la altura desde el vértice determina si existen dos triángulos, uno o ninguno. Como b > c y C es agudo, aquí pueden aparecer dos soluciones distintas. Conviene comparar la altura con los lados dados antes de construir.

Question 11Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo rectángulo, ¿dónde se sitúa el ortocentro?

  1. En el punto medio del cateto mayor
  2. En el vértice del ángulo recto Correct answer.
  3. En el punto medio de la hipotenusa
  4. En el interior del triángulo

Explanation

En un triángulo rectángulo, los dos catetos son alturas respecto del otro cateto, de modo que dos alturas coinciden con los lados. Su intersección es el vértice del ángulo recto, donde también concurre la tercera altura. Por eso el ortocentro queda sobre la figura y no en su interior.

Question 12Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Al construir un rombo conociendo sus dos diagonales, ¿qué relación geométrica se aprovecha en el trazado?

  1. Las diagonales son iguales y paralelas
  2. Una diagonal es el doble de la otra
  3. Las diagonales se cortan perpendicularmente en su punto medio Correct answer.
  4. Las diagonales son perpendiculares pero no se bisecan

Explanation

En el rombo las diagonales son perpendiculares y se cortan en sus puntos medios, por lo que dividen la figura en cuatro triángulos rectángulos iguales. El trazado consiste en dibujar una diagonal, su mediatriz y llevar sobre ella la mitad de la otra. Uniendo los cuatro extremos se obtiene el rombo.

Question 13Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Para inscribir un hexágono regular en una circunferencia de radio R, ¿qué longitud se lleva sobre la circunferencia desde un punto inicial?

  1. La del radio R Correct answer.
  2. La de R multiplicada por raíz de 2
  3. La de la apotema
  4. La del diámetro 2R

Explanation

En el hexágono regular el lado mide lo mismo que el radio de la circunferencia circunscrita, porque el triángulo formado por dos radios y un lado es equilátero. Por eso basta llevar la abertura del compás igual al radio a lo largo de la circunferencia. Seis pasos cierran el polígono.

Question 14Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Un polígono regular tiene 12 lados. ¿Cuánto mide cada ángulo interior?

  1. 135°
  2. 150° Correct answer.
  3. 144°
  4. 120°

Explanation

La suma de los ángulos interiores es (12 − 2) · 180° = 1800°, y al dividir entre 12 lados resulta 150° por ángulo. También se obtiene restando al ángulo llano el ángulo central de 30°. Ambos procedimientos deben coincidir.

Question 15Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se traza el arco capaz de 60° sobre un segmento AB. ¿Qué propiedad tienen todos los puntos del arco?

  1. Ven el segmento AB bajo un ángulo de 60° Correct answer.
  2. Equidistan de A y de B
  3. Están a 60° medidos desde A
  4. Forman con A y B triángulos equiláteros

Explanation

El arco capaz de un ángulo dado sobre AB es el lugar geométrico de los puntos desde los que el segmento AB se ve bajo ese ángulo. Se construye trazando el ángulo en un extremo y su perpendicular, que sitúa el centro del arco. Es una herramienta clave en construcciones con ángulos impuestos.

Question 16Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un trapecio rectángulo, ¿qué particularidad presentan dos de sus ángulos?

  1. Dos ángulos consecutivos son rectos Correct answer.
  2. Los ángulos de la base mayor son complementarios
  3. Los ángulos opuestos son suplementarios
  4. Los cuatro ángulos son iguales

Explanation

El trapecio rectángulo tiene un lado perpendicular a las bases, lo que genera dos ángulos rectos consecutivos sobre ese lado. Los otros dos ángulos son suplementarios entre sí por el paralelismo de las bases. Esta configuración simplifica el trazado cuando se conoce la altura.

Question 17Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se desea construir un triángulo isósceles conociendo la base AB y la altura h sobre ella. ¿Qué trazado resuelve la construcción?

  1. Trazar la bisectriz del ángulo A y cortarla con la base
  2. Trazar por A una paralela a la altura h
  3. Trazar un arco de radio AB desde A y otro desde B
  4. Trazar la mediatriz de AB y llevar h sobre ella desde el punto medio Correct answer.

Explanation

En un triángulo isósceles la altura sobre la base coincide con la mediatriz de esa base, de modo que el vértice superior se sitúa sobre ella. Llevando la altura h desde el punto medio se obtiene el tercer vértice. Uniendo este con A y B queda el triángulo pedido.

Question 18Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Al dividir una circunferencia en 5 partes iguales para inscribir un pentágono regular, ¿qué método clásico se emplea con regla y compás?

  1. El trazado basado en la división del radio según la sección áurea Correct answer.
  2. La duplicación sucesiva de un arco de 30°
  3. El trazado de tangentes paralelas a un diámetro
  4. La trisección del ángulo central de 72°

Explanation

El pentágono regular está ligado a la proporción áurea: el lado es la sección áurea de la diagonal. El método clásico divide un radio en media y extrema razón para obtener la cuerda de 72°. Con esa abertura se marca el polígono sobre la circunferencia.

Question 19Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo cualquiera, ¿qué punto divide cada mediana en dos segmentos de longitudes 2:1 respecto del vértice?

  1. El ortocentro
  2. El baricentro Correct answer.
  3. El circuncentro
  4. El incentro

Explanation

El baricentro es la intersección de las medianas y las divide en dos partes cuya razón es 2:1 medida desde el vértice. Esa propiedad permite localizarlo sin trazar las tres medianas completas. Además coincide con el centro de gravedad de una lámina triangular homogénea.

Question 20Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se construye un triángulo con lados a = 5 cm, b = 5 cm y c = 10 cm. ¿Qué ocurre al intentar trazarlo?

  1. Se obtiene un triángulo isósceles válido
  2. Se obtiene un triángulo equilátero
  3. No se forma triángulo porque un lado iguala la suma de los otros dos Correct answer.
  4. Se obtienen dos triángulos simétricos

Explanation

La desigualdad triangular exige que cada lado sea estrictamente menor que la suma de los otros dos, y aquí 10 = 5 + 5. Los tres puntos quedan alineados y la figura degenera en un segmento. Por tanto no existe un triángulo propiamente dicho con esas medidas.

Question 21Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un cuadrado de lado L, ¿qué relación guarda la diagonal con el lado?

  1. La diagonal mide el doble de L
  2. La diagonal mide L por raíz de 2 Correct answer.
  3. La diagonal mide L por raíz de 3
  4. La diagonal es igual a L

Explanation

La diagonal del cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de catetos L, de modo que mide la raíz cuadrada de L² + L², es decir, L por raíz de dos. Este valor aparece al construir el cuadrado a partir de su diagonal. La raíz de tres corresponde a la diagonal del cubo.

Question 22Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se quiere inscribir un polígono regular de 9 lados en una circunferencia usando solo regla y compás. ¿Qué puede afirmarse?

  1. Es posible porque 9 es impar
  2. No es posible con regla y compás porque 9 no es producto de primos de Fermat distintos Correct answer.
  3. Es posible trazando antes un triángulo equilátero
  4. Es posible porque todo polígono regular es construible

Explanation

La construibilidad exacta con regla y compás exige que el número de lados sea producto de una potencia de 2 por primos de Fermat distintos entre sí. El 9 es una potencia de 3, y el 3 no es primo de Fermat, por lo que el eneágono no es construible de forma exacta. Solo cabe una aproximación.

Question 23Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo acutángulo se trazan las tres alturas. ¿Qué relación existe entre el ortocentro H y el circuncentro O?

  1. Coinciden siempre en el mismo punto
  2. H está siempre más cerca de los vértices que O
  3. O se obtiene reflejando H respecto de cada mediana
  4. Son conjugados isogonales: los ángulos que forma AH con la altura y con el radio AO son iguales Correct answer.

Explanation

En cualquier triángulo, la altura desde un vértice y el radio que une ese vértice con el circuncentro son rectas isogonales respecto de los lados del ángulo. Por eso H y O se denominan conjugados isogonales. Esta relación permite deducir uno a partir del otro y explicar simetrías del triángulo.

Question 24Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Al resolver un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido, ¿qué construcción garantiza la solución y por qué?

  1. Se traza primero la altura y luego se comprueba la desigualdad triangular
  2. Se trazan dos arcos con los lados dados, lo que puede dar dos soluciones
  3. Se traza el ángulo con los dos lados sobre sus lados; el tercer lado queda fijado por el cierre, luego hay solución única Correct answer.
  4. Se traza la circunferencia circunscrita antes que los lados

Explanation

El caso lado-ángulo-lado fija dos vértices y la dirección del tercero, de modo que al llevar las longitudes sobre los lados del ángulo el tercer vértice queda determinado sin ambigüedad. El cierre del triángulo es único salvo simetría. Por eso este caso no presenta el problema de las dos soluciones del caso ambiguo.

Question 25Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un pentágono regular, ¿qué relación cumple la diagonal d respecto del lado l?

  1. d/l es igual a la razón áurea Correct answer.
  2. d es el doble de l
  3. d/l es igual a la raíz de 3
  4. d es igual a l por raíz de 2

Explanation

En el pentágono regular la diagonal y el lado están en proporción áurea, de modo que d/l = (1 + raíz de 5)/2, aproximadamente 1,618. Esta relación explica que el pentágono aparezca en la construcción del número áureo con regla y compás. También permite obtener el lado a partir de la diagonal.

Question 26Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En la construcción de un triángulo equilátero de lado AB con regla y compás, ¿qué arco se traza desde el punto A?

  1. Un arco de radio AB que corta a la perpendicular a AB por A.
  2. Un arco de radio AB que corta al arco de centro B y radio AB. Correct answer.
  3. Un arco de radio AB/2 que corta a la mediatriz de AB.
  4. Un arco de radio 2·AB que corta a la circunferencia de centro B y radio AB.

Explanation

Para construir un triángulo equilátero sobre el lado AB, se trazan dos arcos de radio igual a AB, uno con centro en A y otro con centro en B. Su intersección es el tercer vértice C, pues AC = BC = AB. Así, desde A se traza un arco de radio AB que corta al arco de centro B.

Question 27Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se quiere construir un paralelogramo conociendo los lados a = 6 cm y b = 4 cm y el ángulo comprendido entre ellos α = 60°. ¿Qué trazado garantiza la construcción?

  1. Se dibuja el lado a, se copia el ángulo α en un extremo y se lleva el lado b sobre el otro lado del ángulo; se cierra la figura trazando paralelas. Correct answer.
  2. Se dibuja el lado a, se traza la circunferencia de radio b con centro en un extremo y se elige cualquier punto de ella para cerrar el paralelogramo.
  3. Se dibujan las dos diagonales, que se cortan en su punto medio, y se unen los extremos con segmentos de longitud a y b.
  4. Se dibuja el lado a, se traza su mediatriz y se lleva el lado b sobre ella; se une el punto obtenido con los extremos de a.

Explanation

Un paralelogramo queda determinado por dos lados consecutivos y el ángulo que forman. Se traza el lado a, se copia el ángulo α en uno de sus extremos y se lleva sobre el otro lado la longitud b; los extremos libres se unen trazando paralelas a los lados ya dibujados. Así se obtiene el paralelogramo pedido.

Question 28Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo rectángulo, se construye la circunferencia inscrita. ¿Qué propiedad relaciona el radio r con los catetos a y b y la hipotenusa c?

  1. r = (a + b − c) / 2 Correct answer.
  2. r = (a · b) / (a + b + c)
  3. r = c / 2
  4. r = (a + b + c) / 2

Explanation

En un triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita viene dado por r = (a + b − c)/2, donde a y b son los catetos y c la hipotenusa. Esta fórmula se deduce del área del triángulo y del semiperímetro. Es una relación específica de los triángulos rectángulos.

Question 29Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se desea construir un romboide (paralelogramo no rectángulo) conociendo sus diagonales d1 = 8 cm y d2 = 6 cm y el ángulo que forman entre sí φ = 50°. ¿Qué procedimiento es correcto?

  1. Se construyen dos triángulos equiláteros sobre cada diagonal y se unen sus vértices.
  2. Se trazan las diagonales con su punto medio común y el ángulo φ; se unen los extremos ordenadamente. Correct answer.
  3. Se traza una diagonal, se levanta su mediatriz y se lleva la otra diagonal centrada en ella sin importar el ángulo.
  4. Se traza una diagonal, se copia el ángulo φ en uno de sus extremos y se lleva la otra diagonal desde ese extremo.

Explanation

En todo paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto medio. Por tanto, se dibujan dos segmentos de longitudes d1 y d2 que se bisecan mutuamente y forman el ángulo φ; uniendo sus extremos en orden se obtiene el romboide. El ángulo entre diagonales determina la forma del paralelogramo.

Question 30Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se quiere inscribir un pentágono regular en una circunferencia de radio R utilizando el método de Ptolomeo con regla y compás. ¿Qué construcción auxiliar se realiza para obtener el lado del pentágono?

  1. Se traza el diámetro perpendicular a un radio, se une un extremo con el punto medio del radio opuesto y se lleva esa distancia sobre la circunferencia. Correct answer.
  2. Se traza la bisectriz del ángulo central de 72° y se prolonga hasta cortar a la circunferencia; la cuerda correspondiente es el lado.
  3. Se divide el radio en cinco partes iguales mediante el teorema de Tales y se toma la primera parte como lado.
  4. Se construye un hexágono regular inscrito y se toma la mitad de su lado como lado del pentágono.

Explanation

El método de Ptolomeo para inscribir un pentágono regular consiste en trazar dos diámetros perpendiculares; se toma el punto medio de uno de los radios y se une con un extremo del otro diámetro. La distancia obtenida, llevada sobre la circunferencia, da el lado del pentágono regular. Es una construcción clásica con regla y compás.

Question 31Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

En una elipse de semieje mayor a y semieje menor b, ¿qué relación cumplen los focos respecto del centro?

  1. La distancia del centro a cada foco vale c = √(a² + b²).
  2. La distancia del centro a cada foco vale c = a + b.
  3. La distancia del centro a cada foco vale c = √(a² − b²). Correct answer.
  4. La distancia del centro a cada foco vale c = a − b.

Explanation

En la elipse los focos se sitúan sobre el eje mayor a distancia c del centro, y el triángulo formado por semieje mayor, semieje menor y distancia focal es rectángulo, de modo que a² = b² + c² y por tanto c = √(a² − b²). Esta relación es la que define la posición de los focos a partir de los ejes.

Question 32Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

¿Cuál es la definición por lugares geométricos de la parábola de foco F y directriz d?

  1. El conjunto de puntos cuya distancia a F es el doble de su distancia a d.
  2. El conjunto de puntos cuya distancia a F es igual a su distancia a la recta d. Correct answer.
  3. El conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a F y a d es constante.
  4. El conjunto de puntos cuya suma de distancias a F y a d es constante.

Explanation

La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz. Esa igualdad de distancias es la propiedad métrica que genera la curva y permite construirla punto a punto.

Question 33Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

En una hipérbola, ¿qué nombre recibe la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje real en ese punto?

  1. Directriz.
  2. Asíntota.
  3. Cuerda focal.
  4. Eje imaginario. Correct answer.

Explanation

El eje imaginario es la recta perpendicular al eje real que pasa por el centro de la hipérbola; sobre él se mide el semieje b. Las asíntotas son rectas oblicuas que pasan por el centro, y las directrices son perpendiculares al eje real pero no pasan por el centro.

Question 34Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

¿Qué propiedad cumple la recta tangente a una elipse en uno de sus puntos P respecto de las rectas que unen P con los focos?

  1. Es la bisectriz interior de los dos radios vectores PF y PF'.
  2. Es paralela a la recta que une los dos focos.
  3. Es la bisectriz exterior de los dos radios vectores PF y PF'. Correct answer.
  4. Es perpendicular a la recta que une P con el centro.

Explanation

La tangente en P a la elipse biseca el ángulo exterior formado por los radios vectores PF y PF'. De ahí que la normal en P sea la bisectriz interior de esos mismos radios, propiedad que se usa para trazar tangentes y para aplicaciones ópticas.

Question 35Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

Para trazar la tangente a una parábola en un punto P conociendo su foco F y su directriz, ¿qué construcción es correcta?

  1. Se traza la bisectriz del ángulo formado por PF y la perpendicular de P a la directriz. Correct answer.
  2. Se traza la perpendicular a PF por el foco F.
  3. Se traza la mediatriz del segmento PF.
  4. Se une P con el punto medio del segmento entre F y la directriz.

Explanation

En la parábola, la tangente en P es la bisectriz del ángulo que forman el radio vector PF y la recta paralela al eje que pasa por P, equivalente a la perpendicular de P a la directriz. Esta bisectriz equidista del foco y de la directriz en dirección tangencial.

Question 36Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

Dada una elipse con semieje mayor a = 10 y semieje menor b = 6, ¿cuál es la distancia entre sus dos focos?

  1. 16 Correct answer.
  2. 20
  3. 8
  4. 4

Explanation

Primero se calcula c = √(a² − b²) = √(100 − 36) = √64 = 8. La distancia entre focos es 2c = 16. Conviene distinguir entre la distancia focal c (del centro a un foco) y la distancia entre los dos focos, que es el doble.

Question 37Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

En una hipérbola de ecuación x²/25 − y²/144 = 1, ¿cuáles son las pendientes de sus asíntotas?

  1. ±5/12
  2. ±25/144
  3. ±144/25
  4. ±12/5 Correct answer.

Explanation

Con a² = 25 y b² = 144 se tiene a = 5 y b = 12. Las asíntotas de una hipérbola con eje real horizontal son y = ±(b/a)x, es decir, pendiente ±12/5.

Question 38Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

Una elipse tiene sus focos en F(−4, 0) y F'(4, 0) y su eje mayor mide 12. ¿Cuál es su ecuación reducida?

  1. x²/16 + y²/36 = 1
  2. x²/36 + y²/16 = 1
  3. x²/36 + y²/20 = 1 Correct answer.
  4. x²/20 + y²/36 = 1

Explanation

El semieje mayor es a = 12/2 = 6 y la distancia focal c = 4. Entonces b² = a² − c² = 36 − 16 = 20. Como los focos están sobre el eje X, el denominador mayor corresponde a x², resultando x²/36 + y²/20 = 1.

Question 39Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

¿Qué curva describe un punto que se mueve de modo que su distancia a la recta x = −2 es siempre igual a su distancia al punto (2, 0)?

  1. Una circunferencia de centro (2, 0) y radio 2.
  2. Una elipse con focos en (2, 0) y (−2, 0).
  3. Una hipérbola equilátera centrada en el origen.
  4. Una parábola de vértice en el origen y eje horizontal. Correct answer.

Explanation

La condición de equidistar de un punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz) define una parábola. El vértice está en el punto medio entre foco y directriz, que es el origen, y el eje es perpendicular a la directriz, es decir, horizontal.

Question 40Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

En una elipse, ¿qué puntos son los extremos del eje menor y qué propiedad tienen respecto de la circunferencia focal?

  1. Son los puntos de tangencia de las asíntotas con la elipse.
  2. Están sobre la circunferencia de centro en el centro de la elipse y radio b, sin relación con los focos.
  3. Coinciden siempre con los focos cuando la elipse es equilátera.
  4. Están sobre la circunferencia de centro en un foco y radio 2a, por lo que desde ellos se ve el eje mayor bajo ángulo recto. Correct answer.

Explanation

Los extremos del eje menor equidistan de los dos focos una distancia igual a a, de modo que pertenecen a la circunferencia focal de radio 2a centrada en cualquiera de los focos. Por ello el segmento que los une al foco correspondiente forma ángulo recto con el que los une al otro foco.

Question 41Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

¿Cuál es la excentricidad de una hipérbola equilátera?

  1. 2
  2. √2 Correct answer.
  3. 1
  4. 1/2

Explanation

En la hipérbola equilátera los semiejes son iguales, a = b, y como c² = a² + b² resulta c = a√2. La excentricidad e = c/a vale entonces √2, valor mayor que 1 como corresponde a toda hipérbola.

Question 42Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

La tangente a una parábola en un punto P corta a la directriz en un punto T. ¿Qué relación se cumple entre T, P y el foco F?

  1. El ángulo TPF es siempre de 45°.
  2. El segmento TF es paralelo al eje de la parábola.
  3. El segmento TF es perpendicular a la tangente en P. Correct answer.
  4. El punto T coincide siempre con el pie de la perpendicular de P a la directriz.

Explanation

La intersección de la tangente en P con la directriz, el foco y el punto P forman una configuración en la que el radio vector TF es perpendicular a la tangente. Esta propiedad se usa para trazar tangentes desde puntos exteriores y para construir la curva por envolventes.

Question 43Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

¿Qué nombre recibe el segmento de recta que, pasando por un foco de una cónica, es perpendicular al eje focal y tiene sus extremos sobre la curva?

  1. Radio vector.
  2. Lado recto. Correct answer.
  3. Directriz.
  4. Semieje menor.

Explanation

El lado recto es la cuerda perpendicular al eje focal que pasa por un foco. Su longitud es 2b²/a en la elipse e hipérbola y 2p en la parábola, siendo p la distancia del foco al vértice.

Question 44Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

En una parábola con foco F(3, 0) y directriz x = −3, ¿cuál es la ecuación de su eje?

  1. x = 0
  2. y = 3
  3. y = 0 Correct answer.
  4. x = 3

Explanation

El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Como la directriz es vertical, el eje es horizontal y pasa por F(3, 0), luego su ecuación es y = 0.

Question 45Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

¿Cómo se obtiene la tangente a una elipse desde un punto exterior P mediante circunferencias focales?

  1. Se traza la circunferencia de centro P y radio igual al semieje mayor, que corta a la directriz.
  2. Se traza la circunferencia de centro en el centro de la elipse y radio c.
  3. Se traza la circunferencia de centro P y radio PF, que corta a la circunferencia focal de centro F' en puntos que determinan las tangentes. Correct answer.
  4. Se une P con el centro y se traza la perpendicular por P.

Explanation

La circunferencia focal de centro F' tiene radio 2a. Al cortarla con la circunferencia de centro P y radio PF se obtienen puntos que, unidos con F', dan las posiciones de los puntos de tangencia. Es el método clásico de tangentes desde punto exterior a una elipse.

Question 46Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

¿Cuál es la condición que debe cumplir un punto para pertenecer a una hipérbola de focos F y F' y semieje real a?

  1. PF = PF' = a
  2. |PF − PF'| = 2a Correct answer.
  3. PF + PF' = 2a
  4. PF · PF' = 2a

Explanation

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los dos focos, en valor absoluto, es constante e igual a la longitud del eje real 2a. El valor absoluto recoge las dos ramas de la curva.

Question 47Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

En una elipse, ¿qué relación hay entre la tangente y la normal en un punto P respecto de los radios vectores?

  1. La normal pasa siempre por el centro de la elipse.
  2. La normal es la bisectriz interior del ángulo FPF' y la tangente la bisectriz exterior. Correct answer.
  3. Ambas son perpendiculares a la recta que une los focos.
  4. La normal es la bisectriz exterior y la tangente la interior.

Explanation

La propiedad óptica de la elipse establece que la normal en P biseca el ángulo interior formado por los radios vectores PF y PF'. La tangente, perpendicular a la normal, biseca el ángulo exterior.

Question 48Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

Una hipérbola tiene vértices en (−3, 0) y (3, 0) y focos en (−5, 0) y (5, 0). ¿Cuál es su ecuación reducida?

  1. x²/25 − y²/9 = 1
  2. x²/9 − y²/16 = 1 Correct answer.
  3. x²/16 − y²/9 = 1
  4. x²/9 + y²/16 = 1

Explanation

El semieje real es a = 3 y la distancia focal c = 5. Para la hipérbola b² = c² − a² = 25 − 9 = 16. Con eje real horizontal la ecuación es x²/9 − y²/16 = 1.

Question 49Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

En la parábola y² = 12x, ¿cuál es la longitud del lado recto?

  1. 3
  2. 6
  3. 12 Correct answer.
  4. 24

Explanation

La forma y² = 2px con 2p = 12 da p = 6, donde p es la distancia del vértice al foco. El lado recto mide 4p = 24, o equivalentemente el coeficiente 12 multiplicado por 2. Revisando: 4p = 24.

Question 50Geometric loci and conic sections (ellipse, parabola, hyperbola): definitions, elements, tangent constructions

¿Qué propiedad define a las asíntotas de una hipérbola respecto de la curva?

  1. Son los ejes de simetría de la hipérbola.
  2. Son rectas tangentes a la hipérbola en sus vértices.
  3. Son rectas a las que la curva se aproxima indefinidamente sin llegar a cortarlas. Correct answer.
  4. Son las directrices de la hipérbola.

Explanation

Las asíntotas pasan por el centro y tienen pendiente ±b/a; la rama de la hipérbola se acerca a ellas tanto como se quiera al alejarse del centro, sin cortarlas. No son tangentes ni ejes de simetría.