Arco elíptico de 8 m de luz: elementos, gálibo y tangentes desde un punto exterior
Para salvar una acequia se proyecta un arco elíptico de fábrica. El vano tiene 8,00 m de luz y el intradós arranca en la línea de impostas, con una flecha en el centro de 3,20 m. Sobre el arranque se sitúa la rasante del camino, y se quiere comprobar el paso de un camión de 2,60 m de altura y 2,40 m de anchura total. Además, un tirante debe anclarse en un punto P situado en el eje vertical de simetría, 4,20 m por encima de la línea de arranque, y las dos tangentes al arco desde P definen la posición de los apoyos. El aparejador advierte de que no vale sustituir la elipse por un óvalo de cuatro centros aunque tenga los mismos ejes, y pide justificar la construcción y los cálculos.
1. Determina semiejes, semidistancia focal y excentricidad, y describe el trazado por el método del cordel indicando la longitud exacta del cordel.
Read the worked answer
Elementos. Semieje mayor a = 8,00/2 = 4,00 m; semieje menor b = flecha = 3,20 m. Semidistancia focal c = √(a² − b²) = √(16,00 − 10,24) = √5,76 = 2,40 m. Focos sobre la línea de arranque, a ±2,40 m del centro. Excentricidad e = c/a = 0,60.
Trazado por cordel. Se clavan dos estaquillas en F₁ y F₂ y se monta un cordel cerrado de longitud 2a + 2c = 8,00 + 4,80 = 12,80 m; con el lápiz tensando el cordel, la suma de distancias a los focos vale 2a = 8,00 m en todo punto, que es la definición de elipse. El método es exacto porque no aproxima nada: materializa literalmente la condición PF₁ + PF₂ = 2a. Condición de viabilidad: 2a > 2c, es decir, 8,00 > 4,80, que se cumple.
Por qué no vale el óvalo de cuatro centros. Coincide en los cuatro vértices, pero su curvatura salta en las uniones: pasa de un radio a otro sin transición. En un arco de fábrica eso crea una discontinuidad de curvatura que se traduce en fisuración; la elipse tiene curvatura continua y variable. Solo sería admisible si la tolerancia geométrica lo permitiese, cosa que aquí no se ha declarado.
2. Comprueba si el camión pasa centrado y calcula la anchura máxima admisible a 2,60 m de altura; indica qué margen queda en el borde del vehículo.
Read the worked answer
Ecuación del intradós con origen en el centro de la línea de arranque: y = b·√(1 − x²/a²) = 3,20·√(1 − x²/16).
Paso centrado. El borde del camión está a x = 1,20 m: y = 3,20·√(1 − 1,44/16) = 3,20·√0,91 = 3,20·0,95394 = 3,05 m. Como 3,05 > 2,60, el camión pasa con un resguardo vertical de 0,45 m en su arista superior.
Anchura máxima a 2,60 m. Despejando: x = 4,00·√(1 − (2,60/3,20)²) = 4,00·√(1 − 0,66016) = 4,00·0,5830 = 2,33 m por cada lado, es decir, 4,66 m de anchura total.
Matiz de obra. El cálculo supone el vehículo centrado. Si derrapa 0,50 m, el borde se va a 1,70 m y la altura libre baja a 3,20·√(1 − 2,89/16) = 2,90 m: sigue passando, pero el resguardo se reduce a 0,30 m. Conviene por tanto acotar la rasante con el camión descentrado, no centrado.
3. Traza las tangentes al arco desde el punto P (sobre el eje, a 4,20 m del arranque), justifica la construcción por la propiedad focal e indica dónde están los puntos de tangencia.
Read the worked answer
Datos. F₁(−2,40; 0), F₂(2,40; 0), P(0; 4,20). PF₁ = √(2,40² + 4,20²) = √23,40 = 4,837 m; 2a = 8,00 m.
Construcción.
- Circunferencia c₁ de centro P y radio PF₁ = 4,837 m.
- Circunferencia c₂ de centro F₂ y radio 2a = 8,00 m.
- Sus intersecciones Q₁ y Q₂ son los puntos buscados.
- Las tangentes son las mediatrices de F₁Q₁ y F₁Q₂.
- El punto de tangencia T es la intersección del segmento F₂Q con la elipse.
Justificación. Sea R el punto de tangencia y Q el punto del rayo F₂R tal que F₂Q = 2a; entonces RQ = 2a − F₂R = F₁R, luego R está en la mediatriz de F₁Q. La propiedad focal dice que esa mediatriz es precisamente la tangente, porque es la bisectriz exterior del ángulo F₁RF₂. Como la tangente pasa por P, debe cumplirse PF₁ = PQ, y de ahí que Q esté en la circunferencia de centro P y radio PF₁.
Comprobación numérica. Resolviendo el sistema se obtiene Q(3,026; 7,976); el punto de tangencia resulta T ≈ (2,59; 2,44), que verifica x²/16 + y²/10,24 = 0,4196 + 0,5804 = 1. Por simetría, la otra tangente toca en (−2,59; 2,44).