Encuentro de dos faldones con pendientes distintas: dirección de la limahoya y ángulo diedro
Se cubre un porche con dos faldones planos. En planta, los dos aleros son rectas perpendiculares que se cortan en el vértice B: el alero AB mide 6,00 m y el alero CB mide 4,50 m. El faldón que arranca de AB, horizontal en el plano horizontal de referencia, sube hacia el interior con una pendiente de 30°; el que arranca de CB sube también hacia el interior con 45°. Ambos planos se cortan en una limahoya que arranca en B. En el taller se ha replanteado esa limahoya siguiendo la bisectriz del ángulo de los aleros (45° respecto a cada uno) y las placas de cumbrera no han ajustado. Se pide comprobar en el sistema diédrico la dirección real de la intersección, el ángulo diedro del encuentro y la longitud real de la limahoya hasta la cota de 2,00 m.
1. Determina en planta la dirección de la intersección de los dos faldones y demuestra con dos curvas de nivel si coincide con la bisectriz del ángulo de los aleros.
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Ecuaciones de los planos. Con B en el origen, AB sobre el eje x y CB sobre el eje y, y el interior en el primer cuadrante:
- Plano α (arranca de AB): z = y·tan 30° = 0,5774·y.
- Plano β (arranca de CB): z = x·tan 45° = x.
Curvas de nivel. Para z = 1,00 m: en α, y = 1,00/0,5774 = 1,732 m; en β, x = 1,00 m. Punto M₁(1,00; 1,732). Para z = 2,00 m: M₂(2,00; 3,464). La recta BM₁M₂ tiene dirección (1; 1,732), es decir, 60° respecto de AB y 30° respecto de BC.
Conclusión. No coincide con la bisectriz (45°/45°). La regla que explica el resultado: la limahoya se arrima al alero cuyo faldón es más tendido, porque para igualar la cota necesita más distancia horizontal. Aquí el faldón de 30° es el tendido y por eso la limahoya se separa de él 60°. El replanteo por bisectriz es, por tanto, incorrecto, y explica el desajuste de la cumbrera.
Comprobación cruzada. La relación y/x = tan 45°/tan 30° = 1,732 confirma el ángulo de 60°, y además la recta es independiente de la cota, luego es recta en planta y en alzado.
2. Obtén la verdadera magnitud del ángulo que forman los dos faldones e indica el método empleado.
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Método. Cambio de plano: se toma un plano δ perpendicular a la limahoya. Las intersecciones de δ con α y con β son dos rectas, y el ángulo entre ellas es el diedro en verdadera magnitud. En la práctica se abate el plano δ sobre el horizontal.
Cálculo de control. Normales unitarias: n₁ = (0; −0,5774; 1) para α y n₂ = (−1; 0; 1) para β. cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|) = 1 / (1,1547 · 1,4142) = 0,6124 → θ = 52,24°.
Interpretación, que es donde se falla. El cambio de plano devuelve el ángulo entre los planos (52,24°), pero el ángulo que abre el encuentro en valle es su suplementario: 180° − 52,24° = 127,76°. Ese es el valor que necesita el chapista para cortar la pieza de cumbrera. Errores típicos: dar 90° (el ángulo de los aleros en planta) o medir en el alzado el ángulo entre las líneas de máxima pendiente, que no es el diedro.
3. Calcula la verdadera longitud de la limahoya desde el vértice B hasta el punto en que la cota es 2,00 m.
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Coordenadas del punto. A cota z = 2,00 m, el punto pertenece a ambos planos:
- en β: x = z/tan 45° = 2,00/1 = 2,00 m;
- en α: y = z/tan 30° = 2,00/0,5774 = 3,464 m. Luego P(2,00; 3,464; 2,00).
Longitud real. L = √(2,00² + 3,464² + 2,00²) = √(4 + 12 + 4) = √20 = 4,472 m.
Comprobación por el método gráfico. La proyección horizontal de la limahoya mide √(2,00² + 3,464²) = √16 = 4,00 m; construyendo el triángulo rectángulo con el desnivel de 2,00 m se obtiene L = √(4,00² + 2,00²) = 4,472 m, que coincide. Este triángulo es el que hay que dibujar en el diédrico al abatir la limahoya sobre un plano horizontal o vertical.