Desarrollo de un tronco de cono con boca cortada en oblicuo
Una empresa de calderería debe fabricar una tolva de chapa de 1 mm de espesor a partir de un tronco de cono recto: diámetro exterior de la base 240 mm, diámetro exterior de la boca 120 mm y altura 180 mm. La boca no es horizontal: se corta con un plano que pasa por el punto más bajo del borde superior (el delantero) y que asciende 20° hacia la parte trasera. El taller pide un desarrollo en una sola pieza, con el cordón de soldadura en una sola generatriz. El alumno ha medido las generatrices directamente sobre la planta y la elevación del plano de conjunto y ha trasladado esas medidas al sector del desarrollo, con el resultado de que la boca cortada no coincide con la plantilla de la brida. El encargado sospecha que el error está en las longitudes tomadas y pide recalcular el desarrollo completo a partir del cono teórico, indicando el radio y el ángulo del sector, la longitud real de cada generatriz hasta el corte y el sitio donde debe ir la soldadura.
1. Determina la altura del vértice, la generatriz, el radio y el ángulo del sector del desarrollo, y comprueba que el arco coincide con el perímetro de la base.
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Cono completo. Por semejanza, H/(H − 180) = 120/60 → H = 360 mm. Generatriz: G = √(360² + 120²) = √144000 = 379,47 mm.
Tronco. Generatriz del tronco: L = √(180² + 60²) = √36000 = 189,74 mm, que coincide con G·(1 − 60/120) = 189,74 mm.
Desarrollo. Es un sector de radio G = 379,47 mm y ángulo θ = 360°·r/G = 360°·120/379,47 = 113,84°. El arco exterior tiene radio 379,47 mm y el interior 379,47 − 189,74 = 189,74 mm.
Comprobación del arco. Longitud del arco = θ(rad)·G = 1,98693 · 379,47 = 753,97 mm. Perímetro de la base = π·240 = 753,98 mm. Coinciden, que es la condición que garantiza que la chapa cierre. Si el sector se traza con el ángulo redondeado a 114°, el arco sale 1,1 mm largo y el cierre se fuerza en la soldadura.
2. Calcula la longitud real de las generatrices hasta el corte en el frente, en los costados y en la parte trasera, y explica por qué no vale medirlas en el alzado.
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Por qué falla el alzado. En un cono recto todas las generatrices tienen la misma longitud real G, pero en el alzado solo se ven en verdadera magnitud las que son paralelas al plano vertical; las demás se proyectan acortadas: la del costado (perpendicular al plano vertical) mide aparentemente 360 mm frente a los 379,47 reales, un 5 % de error. De ahí el desajuste con la brida.
Plano de corte (y positiva hacia atrás, delantero en y = −60): z = 180 + tan 20°·(y + 60) = 180 + 0,36397·(y + 60).
Longitudes reales hasta el corte. Para cada generatriz, la longitud desde la base es G·(1 − u/120), siendo u el radio del punto de corte:
| Generatriz | u (mm) | Cota del corte (mm) | Longitud real (mm) |
|---|---|---|---|
| Delantera | 60,00 | 180,0 | 189,7 |
| Costados | 52,72 | 201,8 | 212,8 |
| Trasera | 47,02 | 218,9 | 230,8 |
Consecuencia geométrica. El borde superior del desarrollo no es un arco de circunferencia: solo lo sería si el corte fuese horizontal (arco de radio 189,74 mm). Con el corte oblicuo hay que llevar cada longitud sobre su generatriz y unir los puntos con una curva, que resulta simétrica respecto del eje del sector.
3. Indica dónde debe situarse la generatriz de soldadura y qué corrección introduce el espesor de 1 mm.
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Situación del cordón. La soldadura se coloca en la generatriz más corta, la delantera (189,7 mm), por dos motivos: es la zona de menor desarrollo y evita que el cordón coincida con el punto más alto del corte (la generatriz trasera, 230,8 mm), donde la concentración de tensiones y el remate de la brida son más delicados. Así el borde de la boca queda continuo y sin empalme.
Corrección por espesor. El desarrollo debe hacerse sobre la fibra neutra, no sobre la cara exterior: con chapa de 1 mm, el diámetro neutro de la base es 240 − 1 = 239 mm y el de la boca 119 mm, lo que reduce el perímetro en π·1 = 3,14 mm sobre 754 mm, un 0,4 %. Es una corrección pequeña pero acumulativa en el cierre, y debe reflejarse en la memoria; en la práctica se compensa dejando el cordón con sobreespesor de 2-3 mm.
Verificación final. Antes de cortar hay que comprobar dos cotas independientes: la longitud del arco exterior (753,98 mm) y la distancia entre el vértice del sector y el punto medio del borde cortado delantero (189,74 mm). Si ambas cuadran, la plantilla es correcta aunque el borde superior no sea un arco perfecto.