Lotes de regalo y un inventario que no admite improvisaciones
Una cooperativa de Santander prepara tres lotes de regalo para una feria: A, B y C. Cada lote A lleva 2 quesos, 1 lata de anchoas y 1 botella de sidra; cada lote B lleva 1 queso, 2 latas de anchoas y 1 botella de sidra; cada lote C lleva 1 queso, 1 lata de anchoas y 3 botellas de sidra. El almacén dispone de 80 quesos, 75 latas de anchoas y 110 botellas de sidra. La responsable de producción quiere montar exactamente todos los lotes posibles sin que sobre ningún componente y ha anotado el sistema 2x+y+z=80, x+2y+z=75, x+y+3z=110, donde x, y, z son los números de lotes A, B y C. Antes de cerrar el pedido, el proveedor avisa de que la sidra se entrega en lotes cerrados y puede modificar la cantidad disponible; además, un cliente pregunta si se podrían preparar exactamente 18 lotes B. La cooperativa necesita saber si el plan es único, si admite variaciones y cómo responder al cliente sin romper el equilibrio del inventario.
1. Plantea el sistema y resuélvelo por eliminación gaussiana. Interpreta la solución y comprueba que agota las existencias.
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El sistema es:
2x+y+z=80
x+2y+z=75
x+y+3z=110
Restando la segunda ecuación de la primera: x-y=5, luego x=y+5. Restando la tercera de la primera: (2x+y+z)-(x+y+3z)=80-110, es decir, x-2z=-30, o x=2z-30. Igualando: y+5=2z-30, de donde y=2z-35. Sustituyendo en la segunda: (2z-30)+2(2z-35)+z=75, luego 7z-100=75, 7z=175, z=25. Entonces x=20 e y=15.
Solución: 20 lotes A, 15 lotes B y 25 lotes C. Comprobación: quesos 40+15+25=80; anchoas 20+30+25=75; sidras 20+15+75=110. El determinante de la matriz de coeficientes es 7, distinto de cero, por lo que la solución es única. El plan agota exactamente los tres componentes.
2. Si la sidra disponible pasa a ser k botellas, obtén x, y, z en función de k. Determina para qué valores enteros de k entre 100 y 115 el sistema tiene solución no negativa entera.
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Mantenemos las dos primeras ecuaciones y cambiamos la tercera por x+y+3z=k. De nuevo x=y+5 y z=70-3y. Sustituyendo en la tercera: (y+5)+y+3(70-3y)=k, luego 215-7y=k, y=(215-k)/7. Por tanto x=(250-k)/7 y z=(3k-155)/7.
Para que no haya negativos: y≥0 exige k≤215; x≥0 exige k≤250; z≥0 exige k≥155/3≈51,67. Además, 215-k debe ser múltiplo de 7. Como 215 deja resto 5 al dividir por 7, debe cumplirse k≡5 (mod 7). Entre 100 y 115 los candidatos son k=103 y k=110.
Para k=103: y=16, x=21, z=22. Para k=110: y=15, x=20, z=25. Ambos son válidos y agotan quesos y anchoas; solo cambia la cantidad de sidra.
3. El cliente quiere exactamente 18 lotes B. ¿Qué cantidad de sidra debe pedirse y cuántos lotes A y C se preparan? ¿Es compatible con el resto del inventario?
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Imponemos y=18. De x=y+5 se obtiene x=23. De z=70-3y resulta z=70-54=16. La sidra necesaria es k=215-7·18=215-126=89.
Comprobación: quesos 2·23+18+16=80; anchoas 23+2·18+16=75; sidras 23+18+3·16=89. Por tanto, el pedido es compatible con quesos y anchoas, pero obliga a disponer de 89 botellas de sidra, no de 110. Si se mantuvieran las 110 botellas, sobrarían 21; si el proveedor solo sirve lotes cerrados, habría que ajustar la cantidad o añadir otros lotes que consuman esa sidra.