Quesadas, sobaos y una oferta que cambia la recta de beneficio
Una pastelería de Torrelavega elabora dos cajas de dulces: quesada (x) y sobaos (y). Cada caja de quesada requiere 1 hora de mezcla, 3 horas de horno y 1 hora de empaquetado; cada caja de sobaos requiere 2 horas de mezcla, 2 horas de horno y 1 hora de empaquetado. Semanalmente dispone de 80 horas de mezcla, 120 horas de horno y 50 horas de empaquetado. El beneficio es de 7 € por caja de quesada y 6 € por caja de sobaos. La dueña observa que el horno es el recurso más ajustado y duda entre producir muchas quesadas o combinarlas con sobaos; además, un mayorista le ofrece una subvención que elevaría el beneficio de la quesada a 9 € por caja. Antes de decidir, quiere saber el plan óptimo actual, si el recurso del horno limita de verdad y cómo cambia la decisión si acepta la subvención.
1. Formula el problema y resuélvelo por vértices. Indica el plan óptimo y el beneficio máximo.
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Variables: x cajas de quesada, y cajas de sobaos. Restricciones: x+2y≤80 (mezcla), 3x+2y≤120 (horno), x+y≤50 (empaquetado), x≥0, y≥0. Beneficio B=7x+6y.
Vértices factibles: (0,0); (0,40), de x+2y=80 con x=0; (20,30), intersección de x+2y=80 y 3x+2y=120, que también cumple x+y=50; y (40,0), de 3x+2y=120 con y=0.
Valores de B: (0,0)=0; (0,40)=240; (20,30)=140+180=320; (40,0)=280. El óptimo es 20 quesadas y 30 sobaos, con 320 € de beneficio. En ese punto se agotan las 80 horas de mezcla, las 120 de horno y las 50 de empaquetado.
2. Con la subvención, el beneficio de la quesada sube a 9 €. ¿Cambia el óptimo? Si hay más de una solución, explica qué criterio operativo elegirías.
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El nuevo beneficio es B=9x+6y. En los vértices: (0,40)=240; (20,30)=180+180=360; (40,0)=360; (0,0)=0. Hay empate entre (20,30) y (40,0). La recta 9x+6y=360 es equivalente a 3x+2y=120, la misma pendiente que la restricción del horno. Por tanto, todos los puntos del segmento entre (20,30) y (40,0) son óptimos.
Ese segmento cumple las demás restricciones: en (20,30) el empaquetado está a 50 y en (40,0) a 40; la mezcla va de 80 a 40. La elección depende de la demanda y de la logística: si los sobaos tienen buena salida, conviene (20,30); si se quiere reducir carga de empaquetado o diversificar menos, puede elegirse un punto intermedio, por ejemplo (30,15), con 45 horas de empaquetado y 360 € de beneficio.
3. ¿Cuánto vale una hora adicional de horno en el plan óptimo original? Justifica el cálculo con la nueva solución factible.
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Con una hora más de horno, la restricción pasa a 3x+2y≤121. El vértice formado por el horno y el empaquetado se obtiene de x+y=50 y 3x+2y=121: despejando y=50-x, 3x+100-2x=121, luego x=21 e y=29. La mezcla queda en 21+58=79≤80, así que es factible. Su beneficio es 7·21+6·29=147+174=321 €.
El vértice del horno con la mezcla daría x=20,5 e y=29,75, pero incumple el empaquetado. Por tanto, el nuevo óptimo gana 1 € respecto de los 320 € anteriores. La hora adicional de horno vale 1 € en el margen: el horno es limitante, pero su valor es bajo porque obliga a reasignar mezcla y empaquetado.