Alquiler de bicicletas: precio, impuesto y beneficio marginal
Una empresa de alquiler de bicicletas eléctricas en Santander estima que, si fija un precio de p euros por día, alquilará q=100-2p bicicletas diarias, con 20≤p≤50. El coste diario de mantenimiento y personal, en euros, es C(q)=q^2/4+5q+100. La gerencia cobra actualmente 30 € por día y quiere saber si ese precio es razonable. Un asesor propone subir el precio, pero el ayuntamiento estudia aplicar un impuesto de 6 € por bicicleta alquilada para financiar carriles bici. La empresa necesita una recomendación con números: qué precio maximiza el beneficio, cuánto se pierde con el impuesto y cómo interpretar el beneficio marginal en el nivel actual de 40 bicicletas. Además, la demanda solo está definida para precios entre 20 y 50 €, así que cualquier conclusión debe respetar ese intervalo.
1. Obtén el beneficio en función de q y determina el precio y la cantidad que lo maximizan. Comprueba que es un máximo y compara con el precio actual.
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De q=100-2p se deduce p=50-q/2. El ingreso es R(q)=p·q=50q-q^2/2. El beneficio es B(q)=R(q)-C(q)=50q-q^2/2-(q^2/4+5q+100)=45q-3q^2/4-100.
Derivando: B'(q)=45-3q/2. Igualando a cero, 45=1,5q, q=30. Como B''(q)=-1,5<0, es un máximo. El precio correspondiente es p=50-15=35 €. El beneficio máximo es B(30)=45·30-0,75·900-100=1350-675-100=575 €.
El dominio es q entre 0 y 60. En los extremos B(0)=-100 y B(60)=2700-2700-100=-100, así que el máximo es global. Con el precio actual de 30 €, q=40 y B(40)=1800-1200-100=500 €; subir a 35 € aumenta el beneficio en 75 €.
2. Con el impuesto de 6 € por bicicleta, recalcula el óptimo y explica cómo se reparte la carga del impuesto.
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El impuesto añade 6q al coste. El nuevo beneficio es B_t(q)=45q-0,75q^2-100-6q=39q-0,75q^2-100. Derivando: B_t'(q)=39-1,5q=0, luego q=26. El precio es p=50-13=37 €. El beneficio después de impuestos es B_t(26)=39·26-0,75·676-100=1014-507-100=407 €.
El precio sube de 35 a 37 €, es decir, 2 € por unidad. El vendedor recibe 37-6=31 €, frente a 35 € antes, así que su margen cae 4 € por unidad. De los 6 € de impuesto, 2 € los paga el consumidor vía precio y 4 € los absorbe la empresa en el nuevo equilibrio. La recaudación es 6·26=156 €. El beneficio cae 575-407=168 €; de esa caída, 156 € son impuesto y 12 € son pérdida de eficiencia por reducirse la cantidad de 30 a 26.
3. Interpreta el beneficio marginal en q=40. ¿Qué aconsejarías a la gerencia si mantiene el precio de 30 €?
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El beneficio marginal es B'(q)=45-1,5q. En q=40: B'(40)=45-60=-15 € por bicicleta adicional. Es negativo: aumentar la cantidad alquilada, lo que exigiría bajar el precio, reduciría el beneficio en unos 15 € por unidad adicional en ese entorno.
El nivel actual q=40, p=30, está por encima de la cantidad óptima q=30. La empresa está vendiendo más de lo que le conviene al margen: cada bicicleta extra aporta menos de lo que cuesta. La recomendación es subir el precio hacia 35 €, salvo que exista una razón estratégica ajena al beneficio inmediato, porque ese movimiento aumenta el beneficio de 500 a 575 €.