Autopago, capacidad y una caída anómala de clientes
Una cadena de supermercados de Cantabria sabe que el 30% de sus clientes utilizan las cajas de autopago. Un día con 200 clientes, la responsable de tienda quiere dimensionar el número de cajas de autopago para que la probabilidad de quedarse sin capacidad sea como máximo del 5%. También le preocupa que, si un día acuden menos de 50 clientes a autopago, tendrá personal infrautilizado. Para analizar ambos riesgos, decide modelar el número de clientes que usan autopago como una variable aleatoria binomial y aproximarla por una normal, comprobando antes que las condiciones son razonables. Necesita traducir los resultados a decisiones de personal: cuántas cajas habilitar y qué probabilidad hay de una caída anómala por debajo de 50. No dispone de tablas exactas, solo de la normal tipificada; por tanto, debe usar la corrección por continuidad y justificar los valores críticos empleados.
1. Define la variable, comprueba si la aproximación normal es adecuada y calcula la probabilidad de que entre 50 y 70 clientes usen autopago, ambos inclusive.
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Sea X el número de clientes que usan autopago entre 200. Entonces X sigue una binomial B(200;0,3). Su media es np=200·0,3=60 y su desviación típica es √(200·0,3·0,7)=√42≈6,48.
La aproximación normal es razonable porque np=60≥5 y n(1-p)=140≥5. Aplicando corrección por continuidad: P(50≤X≤70)≈P(49,5<X<70,5). Tipificando: z1=(49,5-60)/6,48≈-1,62 y z2=(70,5-60)/6,48≈1,62. Por tanto, P≈Φ(1,62)-Φ(-1,62)=0,9474-0,0526=0,8948. Hay aproximadamente un 89,5% de probabilidad de que el número de usuarios esté entre 50 y 70.
2. ¿Cuántas plazas de autopago debe habilitar para que la probabilidad de superar la capacidad sea como máximo 0,05?
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Buscamos k tal que P(X>k)≤0,05, es decir, P(X≤k)≥0,95. Con corrección por continuidad usamos (k+0,5-60)/6,48≥1,645, porque Φ(1,645)≈0,95. Entonces k+0,5≥60+1,645·6,48≈70,66, luego k≥70,16. El menor entero es k=71.
Comprobación: con k=70, z=(70,5-60)/6,48≈1,62 y P(X≤70)≈0,947, menor que 0,95; con k=71, z=(71,5-60)/6,48≈1,78 y P(X≤71)≈0,962. Habilitar 71 plazas deja el riesgo de quedarse corto por debajo del 5%.
3. Si un día se observan solo 48 clientes de autopago, ¿es un resultado excepcional? Calcula la probabilidad aproximada de 48 o menos y valora la necesidad de personal.
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Calculamos P(X≤48)≈P(X<48,5) con corrección por continuidad. Tipificando: z=(48,5-60)/6,48≈-1,78. Entonces P≈Φ(-1,78)≈0,038, es decir, alrededor de un 3,8%.
Es un resultado poco probable si el porcentaje real sigue siendo del 30%, por debajo del umbral del 5%. Puede considerarse una caída anómala y justifica revisar la dotación de personal ese día, pero un solo día no demuestra que la proporción haya cambiado. La decisión razonable es mantener el modelo y vigilar varios días antes de modificar el número habitual de cajas.