Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Este bloque de la PAU de Cantabria combina el cálculo matricial (producto, potencias, inversa, rango) con la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, casi siempre con un parámetro. Lo que se evalúa no es solo llegar al resultado, sino clasificar el sistema antes de resolverlo y justificar la discusión con rangos.
Cálculo matricial
- El producto no es conmutativo: AB ≠ BA en general; sí es asociativo y distributivo.
- Traspuesta e inversa: (AB)^t = B^t·A^t y (AB)^(−1) = B^(−1)·A^(−1), en ese orden.
- Determinante: det(AB) = det A · det B; det(kA) = k^n·det A si A es de orden n; si una fila o columna es combinación lineal de las demás, el determinante es 0.
- Inversa por adjunta: A^(−1) = adj(A)^t / det A, válida solo si det A ≠ 0.
- Rango: número de filas no nulas al escalonar, o mayor orden de un menor no nulo.
Rouché-Frobenius y Cramer
Para AX = B con n incógnitas, compara rg A y rg(A|B):
- rg A ≠ rg(A|B): sistema incompatible.
- rg A = rg(A|B) = n: compatible determinado; Cramer da x_i = det(A_i)/det A.
- rg A = rg(A|B) = r < n: compatible indeterminado con n − r parámetros.
Ejemplo. Discute según a: x+y+z=1; x+ay+z=1; x+y+az=1. El determinante de la matriz de coeficientes es (a−1)². Si a ≠ 1 es distinto de 0 y el sistema es compatible determinado: restando la primera ecuación a la segunda se obtiene (a−1)y = 0, luego y = 0; restando la primera a la tercera, (a−1)z = 0, luego z = 0; y de la primera, x = 1. Solución única (1, 0, 0). Si a = 1 las tres ecuaciones coinciden con x+y+z=1: rg A = rg(A|B) = 1 < 3, sistema compatible indeterminado con dos parámetros, (x, y, z) = (1−s−t, s, t).
Errores que restan puntos
- Confundir el número de ecuaciones con el rango: tres ecuaciones pueden tener rango 2.
- Discutir solo con det A = 0 y olvidar comparar después rg A con rg(A|B) en el caso singular.
- Dividir por (a−1) sin separar previamente el caso a = 1.
- No comprobar la solución ni escribir los parámetros en el caso indeterminado.
- Errores de signo en determinantes 3×3 y olvidar la traspuesta en la matriz adjunta.