Programación lineal
La programación lineal bidimensional aparece en la PAU como un problema de optimización con dos variables, restricciones lineales y una función objetivo. Se pide plantear, representar la región factible, hallar sus vértices y decidir dónde se alcanza el máximo o el mínimo, a veces con un parámetro en la función objetivo.
Planteamiento
- Define las variables con unidades y en el contexto del enunciado.
- Traduce cada condición a una inecuación lineal; añade x ≥ 0, y ≥ 0 salvo que el enunciado las excluya.
- Escribe la función objetivo f(x, y) = ax + by y decide si se maximiza o se minimiza.
Región factible y vértices
- Dibuja cada recta frontera con dos puntos y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad, comprobando con un punto de prueba.
- Los vértices son las intersecciones de pares de rectas frontera que cumplen todas las restricciones.
- Teorema fundamental: si la región es cerrada, acotada y no vacía, el óptimo se alcanza en un vértice, o en todo un lado si la objetivo es paralela a una restricción.
- Si la región es no acotada, compara pendientes para ver si la objetivo crece sin límite.
Ejemplo. Maximiza f(x, y) = 3x + 2y con x + y ≤ 4, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0. Vértices: (0, 0); (4, 0), corte de x+y=4 con el eje X; (0, 3), corte de x+2y=6 con el eje Y; y (2, 2), intersección de x+y=4 y x+2y=6 (al restar, y=2, x=2). Valores de f: 0, 12, 6 y 10. El máximo es 12 en (4, 0). La pendiente de la objetivo es −3/2, más inclinada que −1 y que −1/2, por eso el óptimo cae en el vértice del eje X.
Errores que restan puntos
- Olvidar la no negatividad y tomar vértices fuera del primer cuadrante.
- Elegir la intersección de las dos rectas principales sin comprobar que cumple el resto de restricciones.
- Redondear a enteros sin que el problema lo pida; si es programación entera, hay que evaluar los puntos enteros de la región.
- Invertir el sentido de una inecuación al multiplicar o dividir por un número negativo.
- Confundir máximo y mínimo: la objetivo puede crecer en la dirección opuesta a la esperada.