Funciones, límites y continuidad
En este bloque se estudia la función como modelo: dominio, límites, asíntotas, continuidad y tipos de discontinuidad. En la PAU suele aparecer una función definida a trozos con un parámetro, o una función racional o con raíces, y se pide discutir su continuidad, calcular límites o justificar la existencia de una raíz.
Dominio y cálculo de límites
- Dominio: en polinomios, todos los reales; en racionales se excluyen los ceros del denominador; en raíces de índice par, el radicando debe ser ≥ 0; en logaritmos, el argumento > 0.
- Indeterminaciones: 0/0 y ∞/∞ se resuelven factorizando, multiplicando por el conjugado o aplicando L'Hôpital; ∞ − ∞ con conjugado o denominador común; 1^∞ con el número e.
- En funciones racionales, la comparación de grados decide el límite en el infinito.
Asíntotas y continuidad
- Vertical en x = a si el límite lateral es ±∞ (normalmente un cero no cancelado del denominador).
- Horizontal y = L si lim f(x) = L cuando x → ±∞; oblicua y = mx + n si el grado del numerador supera en 1 al del denominador, con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x) − mx).
- f es continua en x = a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden.
- Discontinuidad evitable (existe límite finito y no coincide con f(a)), de salto finito (límites laterales finitos distintos), de salto infinito o esencial.
- Teorema de Bolzano: si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe c en (a, b) con f(c) = 0.
Ejemplo. Sea f(x) = x² + ax si x ≤ 1, y f(x) = 2/x si x > 1. Para que sea continua en x = 1: límite por la izquierda 1 + a, límite por la derecha 2, f(1) = 1 + a; igualando, a = 1. Si a = 0, los límites laterales son 1 y 2: discontinuidad de salto finito 1.
Errores que restan puntos
- Calcular el límite pero no comprobar que existe f(a).
- Confundir continuidad con derivabilidad.
- Multiplicar mal por el conjugado y perder el signo.
- Decir que no hay asíntota horizontal cuando el límite es 0.
- No estudiar los límites laterales en el punto donde la función cambia de expresión.
- Aplicar Bolzano sin comprobar la continuidad en todo el intervalo.