Cálculo diferencial y sus aplicaciones
El cálculo diferencial es el bloque con más peso procedimental: derivada en un punto, recta tangente, monotonía, extremos, curvatura y optimización. Los enunciados piden estudiar una función, hallar parámetros para que se cumpla una condición o resolver un problema de máximos y mínimos con un contexto geométrico o económico.
Reglas y herramientas
- Derivada como límite del cociente incremental; interpretación geométrica: pendiente de la tangente.
- Reglas: potencia, producto, cociente y regla de la cadena; derivadas de e^x, ln x, a^x, sen x, cos x.
- Recta tangente en x = a: y − f(a) = f'(a)(x − a). La normal es perpendicular: pendiente −1/f'(a).
- Monotonía: f' > 0 crece, f' < 0 decrece. Extremo relativo si f' cambia de signo; si f'(a)=0 y f''(a) > 0 hay mínimo, y si f''(a) < 0, máximo.
- Curvatura: f'' > 0 convexa, f'' < 0 cóncava; punto de inflexión si f'' cambia de signo.
- En un intervalo cerrado, compara los valores en los puntos críticos y en los extremos.
Optimización
- Expresa la magnitud que se optimiza con una sola variable usando la restricción.
- Indica el dominio real del problema.
- Deriva, iguala a 0 y clasifica con el signo de f' o con f''.
Ejemplo. Se quiere cercar un rectángulo apoyado en un muro, usando 100 m de valla en los otros tres lados. Si x es el lado paralelo al muro e y cada lado perpendicular, 2y + x = 100, luego y = (100 − x)/2. El área es A(x) = x(100 − x)/2 = 50x − x²/2, con 0 < x < 100. A'(x) = 50 − x = 0 da x = 50, y = 25; A'' = −1 < 0, máximo. Área máxima 1250 m².
Errores que restan puntos
- Concluir que hay extremo solo porque f' = 0 (puede ser un punto de tangente horizontal sin cambio de monotonía).
- Olvidar el dominio del problema y aceptar soluciones negativas.
- No comprobar los extremos en un intervalo cerrado.
- Errores en la regla del cociente o al derivar raíces y logaritmos compuestos.
- Dar la tangente en el punto equivocado o confundir la pendiente con la ordenada.