Cálculo integral y áreas
Este bloque evalúa el cálculo de primitivas inmediatas, la regla de Barrow y el cálculo de áreas de regiones del plano. En la PAU suele pedirse el área entre dos curvas o entre una curva y el eje X, con intersecciones que hay que calcular previamente, y a veces una función definida a trozos.
Primitivas y Barrow
- Primitivas inmediatas: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫a^x dx = a^x/ln a + C; ∫sen x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sen x + C.
- Ajuste de constantes: ∫f'·f^n = f^(n+1)/(n+1); ∫f'/f = ln|f|.
- Regla de Barrow: si F es una primitiva de f, ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
Áreas
- Área entre f y el eje X en [a, b]: ∫_a^b |f(x)| dx; hay que partir el intervalo donde f cambia de signo.
- Área entre dos curvas: se calculan las intersecciones, se identifica cuál está arriba en cada tramo y se integra (superior − inferior).
- Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, se divide el recinto.
Ejemplo. Halla el área encerrada por y = x² y y = x + 2. Intersecciones: x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x = 2 y x = −1. En (−1, 2) la recta está por encima (en x = 0: 2 > 0). Área = ∫ de −1 a 2 de (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3] entre −1 y 2 = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 9/2.
Errores que restan puntos
- Restar en el orden equivocado y obtener un área negativa.
- No calcular las intersecciones y usar límites inventados.
- Olvidar el valor absoluto cuando la curva corta al eje X.
- Arrastrar la constante C en una integral definida y cometer errores de cuentas.
- Integrar 1/x como ln x sin valor absoluto, o atravesar una discontinuidad (x = 0) sin partir el intervalo.