Probabilidad y variables aleatorias
El bloque de probabilidad y variables aleatorias cubre probabilidad condicionada, independencia, probabilidad total y teorema de Bayes, junto con las distribuciones binomial y normal. La PAU suele combinar un problema de urnas o de pruebas diagnósticas con otro de cálculo de probabilidades en una binomial, a veces aproximando por la normal.
Probabilidad y condicionada
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(A^c) = 1 − P(A).
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), con P(B) > 0.
- A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B), equivalentemente P(A|B) = P(A).
- Probabilidad total: P(B) = Σ P(A_i)P(B|A_i) para una partición del espacio muestral.
- Bayes: P(A_i|B) = P(A_i)P(B|A_i) / Σ P(A_j)P(B|A_j).
Variables aleatorias
- Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n, k)p^k(1−p)^(n−k); E[X] = np; Var(X) = np(1−p).
- Normal N(μ, σ): se tipifica Z = (X − μ)/σ y se usa la tabla de la N(0, 1). Por simetría, P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z).
- Aproximación binomial → normal si np ≥ 5 y n(1−p) ≥ 5, con corrección por continuidad de ±0,5.
Ejemplo. Una urna A tiene 3 bolas rojas y 2 blancas; una urna B tiene 1 roja y 4 blancas. Se elige una urna al azar y se extrae una bola, que resulta blanca. ¿Probabilidad de que sea de B? P(A) = P(B) = 1/2; P(blanca|A) = 2/5; P(blanca|B) = 4/5. Por Bayes: P(B|blanca) = (1/2·4/5) / (1/2·2/5 + 1/2·4/5) = (2/5)/(3/5) = 2/3.
Errores que restan puntos
- Invertir la condicionada: P(A|B) no es P(B|A).
- Sumar probabilidades de sucesos no incompatibles sin restar la intersección.
- Confundir independencia con incompatibilidad.
- Usar la varianza en lugar de la desviación típica al tipificar.
- Leer mal la tabla normal con z negativa o no aplicar la corrección por continuidad.