Rosácea pentagonal y borde áureo en un panel de 120 cm
Un estudio de Santander prepara el diseño de una rosácea pentagonal para un panel de madera de 120 × 120 cm. La rosácea se inscribe en una circunferencia de radio R y se rodea de un borde cuya anchura debe ser la sección áurea de R (R/φ, con φ = 1,618). El taller dispone de fresadora CNC con tolerancia de ±1 mm y exige un trazado con regla y compás, sin transportador de ángulos. Un colaborador propone marcar cinco puntos con transportador cada 72° y unir con regla, argumentando que 'es más rápido y suficientemente exacto'. Además, el primer boceto fija R = 45 cm, pero al comprobar el encaje en el panel surgen dudas: el diámetro más dos bordes parece exceder el lado del panel. Se pide revisar la geometría antes de enviar el archivo de corte.
1. Calcula el radio máximo R que permite inscribir la rosácea y el borde áureo dentro del panel de 120 cm, y determina el lado y la apotema del pentágono resultante.
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Sea φ=1,618. El radio total desde el centro al borde exterior es R + R/φ = R(1+1/φ). Como 1/φ=φ−1=0,618, el factor es φ=1,618. Para que quepa en 120 cm, el radio total no puede superar 60 cm: R·φ ≤ 60 → R ≤ 60/1,618 = 37,08 cm. Con R=37,0 cm (margen de seguridad) el borde mide 22,9 cm y el total 59,9 cm. Lado del pentágono: s=2R sen36°=2·37,08·0,5878=43,59 cm. Apotema: a=R cos36°=37,08·0,8090=30,00 cm. Si se mantuviera R=45 cm, el total sería 45+27,8=72,8 cm >60 cm, luego el boceto no cabe.
2. Describe la construcción exacta del pentágono regular inscrito en la circunferencia de radio R usando solo regla y compás, y valora si el método del transportador a 72° cumple la tolerancia de ±1 mm en el radio calculado.
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Construcción exacta: 1) circunferencia de centro O y radio R; 2) diámetro horizontal AB y diámetro vertical; 3) punto medio M de OB; 4) con centro M y radio hasta el extremo superior del diámetro vertical, trazar un arco que corta la prolongación de OB por el lado de O en N; 5) ON es el lado del decágono regular inscrito, ON=R(√5−1)/2=0,618R; 6) llevar ON como cuerda sucesivamente sobre la circunferencia para obtener 10 divisiones y unir cada dos puntos para el pentágono. El transportador: un error de lectura de ±0,5° produce un error de cuerda aproximado de R·Δθ=370,8 mm·0,00873=3,2 mm por paso, y los errores se acumulan; no cumple ±1 mm. El compás no acumula error de graduación.
3. El borde áureo se quiere trazar como una franja entre el pentágono y una circunferencia exterior. Explica cómo construir la sección áurea de R con regla y compás y qué error relativo tendría sustituirla por 0,62R.
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Sección áurea de R: sobre una recta llevar OR=R; en R levantar una perpendicular de longitud R/2 hasta P; unir O con P; con centro P y radio R/2 cortar OP en Q; OQ=OP−PQ=R√5/2−R/2=R(√5−1)/2=R/φ. Sustituir por 0,62R da un error relativo (0,62−0,618034)/0,618034=0,00318=0,32%; en R=37,08 cm son 0,73 mm, dentro de ±1 mm pero consume casi toda la tolerancia. Para el borde de 22,92 cm el error es pequeño, pero es preferible construir el valor exacto y no encadenar tolerancias.