Cara inclinada de una escultura de pizarra: verdadera magnitud y visibilidad
Una escultura de pizarra para un jardín de Santander parte de un prisma recto de base triangular. La base horizontal tiene vértices A(0, 0, 0), B(60, 0, 0) y C(0, 40, 0) cm; la altura vertical es de 50 cm. La cara superior no es horizontal: el plano de corte pasa por D(0, 0, 30) sobre la arista vertical de A, E(60, 0, 50) sobre la de B y F(0, 40, 20) sobre la de C. El taller ha recibido una vista superior (planta) y una vista frontal, y el jefe de taller pretende cortar la cara superior con las medidas que aparecen en planta: un triángulo de 60 × 40 cm con hipotenusa 72,1 cm. La pieza se quiere modelar a escala 1:5 para una maqueta y se pregunta si el ángulo de inglete de 22° que propone la fresadora es correcto. Hay que comprobar la verdadera magnitud de la cara DEF y la visibilidad en las vistas.
1. Calcula las longitudes reales de DE, DF y EF y explica por qué la planta no muestra la verdadera magnitud de la cara superior.
Read the worked answer
DE: D(0,0,30), E(60,0,50) → Δ=(60,0,20), |DE|=√(3600+400)=63,25 cm. DF: Δ=(0,40,−10), |DF|=√(1600+100)=41,23 cm. EF: Δ=(−60,40,−30), |EF|=√(3600+1600+900)=78,10 cm. En planta se proyectan sobre z=0: D'(0,0), E'(60,0), F'(0,40); el triángulo 60-40-72,11 es solo la proyección horizontal. Una recta inclinada respecto al plano de proyección se acorta: su longitud verdadera es la hipotenusa de la diferencia horizontal y el desnivel. Por eso la planta no sirve para cortar la cara; hay que abatir el plano DEF o usar verdaderas magnitudes.
2. Determina el ángulo diedro entre el plano de corte DEF y el plano horizontal de la base y decide si el inglete de 22° es aceptable o debe ajustarse a 22,6°.
Read the worked answer
Vectores DE=(60,0,20) y DF=(0,40,−10). Normal n=DE×DF=(0·(−10)−20·40, 20·0−60·(−10), 60·40−0)=(−800,600,2400), equivalente a (−4,3,12). |n|=√(16+9+144)=13. El ángulo entre planos es el ángulo entre sus normales; la normal horizontal es k=(0,0,1). cos α=|n·k|/|n|=12/13=0,9231 → α=22,62°. El inglete de 22° se desvía 0,62°; sobre un ancho de 60 cm el error de altura es 600·tan0,62°≈6,5 mm, inadmisible para un ensamble visible. Hay que ajustar a 22,6° o mecanizar con útil calculado.
3. Indica cómo se verían en alzado frontal las aristas DE, EF y DF y cuál quedaría oculta, justificando la visibilidad.
Read the worked answer
Alzado desde el frente (mirando según +y): D se proyecta en (0,30), E en (60,50), F en (0,20). La arista DE está contenida en la cara frontal y=0, que es vista, luego se dibuja continua. DF se proyecta sobre la vertical x=0 entre z=20 y z=30, pero la arista frontal AD, en y=0, se proyecta sobre el mismo tramo y queda delante; por tanto DF es oculta (discontinua). EF va de E, en el plano frontal, a F, en el fondo; su proyección cae dentro del polígono de la cara frontal A-B-E-D, que está más cerca del observador, así que también es oculta. Visible: DE; ocultas: DF y EF.