Construcción geométrica y geometría plana aplicada al proyecto artístico y de diseño
Este dominio comprueba si sabes construir figuras planas con precisión instrumental y justificar cada paso, no solo si el resultado «se parece» a lo pedido. En la PAU de Cantabria los ejercicios de este bloque suelen pedir tangencias, enlaces, polígonos regulares o curvas cónicas aplicadas a un logotipo, una cenefa, un módulo ornamental o la planta de un objeto de diseño.
Trazados básicos que debes dominar
- La mediatriz de un segmento es la perpendicular que pasa por su punto medio; la bisectriz de un ángulo lo divide en dos iguales. Son construcciones distintas y se confunden con frecuencia.
- El arco capaz de ángulo α sobre un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos desde los que AB se ve bajo α; se construye llevando α en un extremo y trazando la perpendicular hasta cortar la mediatriz, que da el centro.
- La media proporcional y la sección áurea se apoyan en el teorema del cateto y en la circunferencia de diámetro AB.
La condición de tangencia
Recta y circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuando sus centros y el punto de tangencia están alineados. Toda tangencia se reduce a trazar rectas tangentes a una circunferencia auxiliar:
- tangentes exteriores: radio auxiliar R − r;
- tangentes interiores: radio auxiliar R + r.
Polígonos y curvas
El hexágono inscrito tiene el lado igual al radio; el octógono se obtiene bisecando los cuadrantes; para n cualquiera se emplea el método general (aproximado) de división del diámetro. La elipse se traza por haces proyectivos desde los ejes; el óvalo se construye con cuatro arcos y tiene dos ejes de simetría, mientras que el ovoide solo tiene uno.
Ejemplo resuelto
Dos circunferencias de radios 20 mm y 12 mm, centros O₁ y O₂ separados 50 mm: hallar las tangentes exteriores.
- Circunferencia auxiliar de centro O₁ y radio 20 − 12 = 8 mm.
- Desde O₂ se trazan las tangentes a esa circunferencia auxiliar (arco capaz de 90° sobre O₁O₂), obteniendo T.
- Se une O₁ con T y se prolonga hasta la circunferencia grande: punto de tangencia A.
- Por O₂ se traza la paralela a O₁A; su corte con la circunferencia pequeña es B. La recta AB es la tangente buscada.
Errores que restan puntos
Dar por buena una tangencia sin señalar el punto de tangencia; usar R + r cuando se piden exteriores; trazar las construcciones auxiliares con línea gruesa (deben ser finas); no rotular los puntos obtenidos, lo que impide seguir el razonamiento.