Arco apuntado y círculo tangente para una etiqueta de bodega
Un estudio de Almendralejo prepara la silueta de una etiqueta para una bodega. La forma principal es un arco apuntado simétrico de 80 mm de luz: los dos arcos tienen sus centros en los puntos de arranque A y B, separados 80 mm, y cada uno pasa por el punto de arranque opuesto, de modo que se cortan en el vértice superior. En el interior del arco se quiere inscribir un círculo de 12 mm de radio, con centro sobre el eje de simetría, tangente a los dos arcos. El cliente exige además que el círculo quede al menos a 10 mm por encima de la línea de arranque y que no sobresalga por el vértice. El dibujante propone también una segunda versión con un círculo tangente a los dos arcos y a la línea de arranque, para usarlo como sello. Antes de enviar el arte final hay que comprobar radios, centros y puntos de tangencia, y decidir si la segunda versión es posible con un radio de 35 mm.
1. Determina la altura del vértice y el centro del círculo de 12 mm, y comprueba las dos condiciones de contorno.
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Coloco el origen en el punto medio de la línea de arranque: A(−40, 0) y B(40, 0); los arcos tienen radio 80 mm porque cada uno pasa por el arranque opuesto. El vértice está sobre x = 0 y cumple x² + y² = 80² con x = 40, luego y = √(6400 − 1600) = √4800 = 69,28 mm. Para el círculo de radio 12 mm con centro C(0, y), la tangencia interior con el arco izquierdo exige que la distancia AC sea 80 − 12 = 68 mm: √(40² + y²) = 68 → y² = 4624 − 1600 = 3024 → y = 54,99 mm. Comprobación: el borde inferior queda en 54,99 − 12 = 42,99 mm > 10 mm; el superior en 66,99 mm < 69,28 mm, así que no sobresale. Ambas condiciones se cumplen.
2. Calcula los puntos de tangencia del círculo de 12 mm con los dos arcos y explica cómo se obtienen gráficamente.
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El punto de tangencia está en la recta que une A con C, pero en el lado exterior de la circunferencia pequeña, a 80 mm de A. El vector AC = (40; 54,99) tiene módulo 68; su unitario es (0,5882; 0,8087). T = A + 80·(0,5882; 0,8087) = (−40 + 47,06; 64,70) = (7,06; 64,70). Por simetría, el otro punto es (−7,06; 64,70). Gráficamente se traza la recta de centros A–C, se prolonga hasta cortar al arco en T; no se une el centro con un punto arbitrario del arco, porque la tangencia interior obliga a que A, C y T estén alineados.
3. Para la versión del sello, halla el radio del círculo tangente a los dos arcos y a la línea de arranque, y decide si es posible con r = 35 mm.
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Sea S(0, r) el centro. La tangencia con la línea de arranque y = 0 obliga a que el centro esté a altura r. La tangencia interior con el arco izquierdo exige √(40² + r²) = 80 − r. Elevando al cuadrado: 1600 + r² = 6400 − 160r + r² → 160r = 4800 → r = 30 mm. La solución es única. Con r = 35 mm, la distancia al centro A sería √(1600 + 1225) = 53,15 mm, pero la condición de tangencia pediría 80 − 35 = 45 mm; al no coincidir, la circunferencia de 35 mm cortaría los arcos o no llegaría a tocarlos, por lo que el sello de 35 mm no es válido.