Intersección de dos faldones en una marquesina
En la cubierta de una marquesina para un centro cultural de Cáceres se han definido dos faldones planos. El faldón α tiene su traza horizontal sobre la recta y = x, medida en milímetros desde el origen, y su traza vertical sobre z = x; ambas trazas se cortan en el origen de la línea de tierra. El faldón β tiene su traza horizontal sobre y = 60 − x y su traza vertical sobre z = x − 60; sus trazas se cortan en el punto (60, 0) de la línea de tierra. Los dos planos se cortan en una limatesa o cumbrera. El equipo de estructuras necesita conocer esa línea para colocar una canaleta y un bajante vertical. Además, se prevé un soporte vertical en x = 45 mm, y = 30 mm, y un punto de anclaje N(50, 30, 22). Hay que comprobar si el soporte y el anclaje caen sobre la cumbrera y si la cumbrera queda dentro del ámbito x ∈ [0, 60] mm.
1. Obtén la ecuación de la recta intersección de α y β, sus proyecciones y el punto donde corta al plano horizontal.
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Con las trazas dadas, α: x − y − z = 0, porque su traza horizontal z = 0 es y = x y su traza vertical y = 0 es z = x. Para β: x + y − z = 60, porque su traza horizontal es y = 60 − x y su vertical es z = x − 60. Restando: (x − y − z) − (x + y − z) = 0 − 60 → −2y = −60 → y = 30. Sustituyendo en α: x − z = 30 → z = x − 30. La cumbrera es la recta y = 30, z = x − 30. Su proyección horizontal es la recta y = 30, paralela a la línea de tierra; su proyección vertical es z = x − 30. Corte con el plano horizontal: z = 0 → x = 30, luego M(30, 30, 0). Para x = 60, z = 30; en el ámbito pedido la cumbrera va de (30, 30, 0) a (60, 30, 30).
2. Determina la cota a la que el soporte vertical de x = 45, y = 30 encuentra la cumbrera y valora si está dentro del ámbito de la marquesina.
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El soporte vertical tiene x = 45, y = 30, que satisface la condición y = 30 de la cumbrera. La cota de encuentro es z = 45 − 30 = 15 mm. El punto (45, 30, 15) está dentro del ámbito x ∈ [0, 60] y también dentro de la marquesina, pues 45 < 60. Si el soporte es un tubo que sube desde z = 0, atraviesa la cubierta en z = 15; por encima de esa cota quedaría al exterior y habría que rematarlo con una pieza de estanqueidad, no prolongarlo como si la cumbrera continuase.
3. Comprueba si N(50, 30, 22) pertenece a la cumbrera; si no, indica el desplazamiento vertical necesario y razona si el anclaje quedaría sobre el faldón α o β.
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En la cumbrera, para x = 50 e y = 30, la cota debe ser z = 50 − 30 = 20 mm. N tiene z = 22, es decir, está 2 mm por encima de la cumbrera. Para que el anclaje apoye, hay que bajarlo 2 mm o modificar la pieza. Además N no pertenece a ninguno de los dos faldones: en α, 50 − 30 − 22 = −2 ≠ 0; en β, 50 + 30 − 22 = 58 ≠ 60. Al corregir a z = 20 se obtiene 0 y 60 respectivamente, luego el punto corregido pertenece a la intersección de ambos planos.