Desarrollo de una pantalla troncopiramidal
Un taller de prototipos de Badajoz debe construir una pantalla de cartón con forma de tronco de pirámide de base cuadrada. La base mide 120 mm de lado, la cara superior 60 mm y la altura es 80 mm. Las cuatro caras laterales son trapecios isósceles iguales y se quieren desarrollar en una sola pieza o, si no cabe, en dos. El cartón disponible es una plancha de 300 × 200 mm, y hay que dejar 10 mm de pestaña de encolado en cada unión y 5 mm de margen en el borde de la plancha. Además, la pantalla llevará un corte horizontal paralelo a la base a 30 mm de altura para alojar un difusor, y el diseño debe comprobar si la sección es cuadrada y cuánto mide su lado. El responsable duda entre construir el desarrollo en una fila continua o dividirlo en dos tramos de dos caras.
1. Calcula la altura de una cara lateral, es decir, la apotema del tronco, y las dimensiones del trapecio; indica cómo se obtiene gráficamente.
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La cara lateral es un trapecio isósceles. La diferencia entre la base y la cara superior es 120 − 60 = 60 mm; repartida entre los dos lados, 30 mm por lado. La altura de la cara es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 80 mm, altura del tronco, y 30 mm, retranqueo: l = √(80² + 30²) = √7300 = 85,44 mm. El trapecio tiene bases 120 y 60 mm y altura 85,44 mm. Gráficamente se obtiene abatiendo una cara o construyendo ese triángulo rectángulo en verdadera magnitud.
2. Determina el lado de la sección a 30 mm de la base y razona si es un cuadrado.
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Al cortar con un plano paralelo a la base, la sección es semejante a la base y, por tanto, un cuadrado. La razón de semejanza desde el vértice superior es (80 − 30)/80 = 50/80 = 0,625; el lado es 60 + 0,625·(120 − 60) = 60 + 37,5 = 97,5 mm. También puede calcularse descendiendo desde la base: 120 − (30/80)·60 = 120 − 22,5 = 97,5 mm. La sección no es el trapecio de una cara, sino el cuadrado completo de 97,5 × 97,5 mm.
3. Comprueba si el desarrollo lateral cabe en la plancha en una sola fila y, si no, propone una distribución en dos tramos, con pestañas y márgenes.
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El perímetro de la base es 4·120 = 480 mm; solo la sucesión de bordes inferiores ya supera los 300 mm de ancho de la plancha, así que el desarrollo completo en una fila es imposible. En dos tramos de dos caras, cada tramo tiene un ancho de 2·120 = 240 mm en la base, más 10 mm de pestaña = 250 mm; con 5 mm de margen a cada lado se necesitan 260 mm < 300 mm. La altura de cada tramo es 85,44 mm; dos tramos ocupan 170,88 mm, y añadiendo 5 mm arriba, 5 mm abajo y una separación de 5 mm se llega a 185,88 mm < 200 mm. Cabe en dos piezas, pero con una costura central; si se quisiera una sola pieza habría que cambiar de formato de cartón.