Geometría plana: cónicas, tangencias y construcciones geométricas
Geometría plana: cónicas, tangencias y construcciones geométricas
Este bloque evalúa la construcción exacta y la justificación de lugares geométricos: cónicas definidas por focos y directriz, tangencias entre rectas y circunferencias y construcciones clásicas con regla y compás. No basta con dibujar una curva parecida; hay que demostrar qué propiedad geométrica garantiza el resultado.
Cónicas y lugares geométricos
- Elipse: PF₁ + PF₂ = 2a; ejes mayor y menor; focos sobre el eje mayor; construcción por puntos y por haces.
- Hipérbola: |PF₁ − PF₂| = 2a; dos ramas, asíntotas y ejes; no confundir la distancia entre vértices con la distancia focal.
- Parábola: PF = distancia de P a la directriz; el vértice equidista del foco y de la directriz; la tangente en un punto biseca el ángulo entre el radio focal y la paralela al eje.
- Excentricidad e = c/a: e < 1 elipse, e = 1 parábola, e > 1 hipérbola. La directriz no es el eje.
Tangencias
El centro de una circunferencia tangente a una recta está en una paralela a distancia r; si es tangente en un punto T, el radio OT es perpendicular a la recta. Si es tangente a dos rectas, el centro está en una bisectriz; hay que elegir la bisectriz del ángulo que contiene la solución. Para tangencias entre circunferencias, el punto de tangencia está alineado con los centros y la distancia entre centros es R + r (exterior) o |R − r| (interior). La potencia, el eje radical y las homotecias resuelven casos con dos circunferencias y una recta.
Ejemplo razonado
Trazar la circunferencia tangente a una recta r en un punto T y que pase por un punto P exterior. El centro O debe estar en la perpendicular a r por T, porque el radio al punto de tangencia es perpendicular a la recta. También debe cumplir OT = OP, luego O equidista de T y P y está en la mediatriz de TP. La intersección de la perpendicular y la mediatriz da O; el radio es OT. Se comprueba que OP = OT y que la circunferencia no corta a r en otro punto.
Errores que restan puntos
Confundir tangencia interior y exterior; colocar el centro en la mediatriz cuando la condición es tangencia a una recta; no justificar la bisectriz elegida; dibujar una elipse como óvalo sin focos; confundir foco, vértice y centro; y borrar las construcciones auxiliares que explican el método.