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PAU Mathematics II (Galicia) practice questions

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Question 1Matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas las matrices A de orden 2×3 y B de orden 3×4, ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 3×3
  2. 2×4 Correct answer.
  3. El producto no está definido
  4. 4×2

Explanation

El producto A·B existe porque el número de columnas de A (3) coincide con el número de filas de B (3). El resultado tiene tantas filas como A y tantas columnas como B, es decir, orden 2×4.

Question 2Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada. ¿Cuál de estas afirmaciones es siempre cierta?

  1. Si A tiene dos filas iguales entonces det(A) = 0 Correct answer.
  2. det(kA) = k·det(A) para todo escalar k y toda A de orden n
  3. det(A + B) = det(A) + det(B) para toda B del mismo orden
  4. Si det(A) = 0 entonces A es la matriz nula

Explanation

Una de las propiedades básicas de los determinantes es que si dos filas (o columnas) son iguales, el determinante es cero, pues la matriz es singular. Las demás igualdades propuestas no son válidas en general.

Question 3Matrices, determinants and systems of linear equations

La matriz A = [[2, 1],[4, 2]] tiene determinante cero. ¿Qué se puede concluir sobre su rango?

  1. Que el rango es 1, porque las filas son proporcionales Correct answer.
  2. Que el rango es 2, porque ninguna fila es nula
  3. Que el rango no puede determinarse sin calcular la inversa
  4. Que el rango es 0, porque el determinante es cero

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que solo hay una fila linealmente independiente y el rango es 1. Un determinante nulo en una matriz 2×2 implica rango menor que 2, pero no necesariamente rango 0.

Question 4Matrices, determinants and systems of linear equations

En un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial A·X = B, con A cuadrada, ¿cuándo es el sistema compatible determinado?

  1. Cuando det(A) ≠ 0 Correct answer.
  2. Cuando det(A) = 0 y rango(A) = rango(A|B)
  3. Cuando det(A) = 0 y el sistema es homogéneo
  4. Cuando la matriz B es la matriz nula

Explanation

Si A es cuadrada y su determinante es no nulo, A es invertible y la solución es única, X = A⁻¹B. Por tanto el sistema es compatible determinado exactamente en ese caso.

Question 5Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el determinante de la matriz identidad de orden 3, I₃?

  1. 0
  2. 3
  3. 1 Correct answer.
  4. No está definido

Explanation

La matriz identidad es diagonal con todos sus elementos diagonales iguales a 1, y el determinante de una matriz diagonal es el producto de esos elementos. Por tanto det(I₃) = 1·1·1 = 1.

Question 6Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 5. ¿Cuál es el valor de det(2A)?

  1. 5
  2. 10
  3. 40 Correct answer.
  4. 20

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, cada fila queda multiplicada por k, así que el determinante se multiplica por kⁿ. Aquí det(2A) = 2³·det(A) = 8·5 = 40.

Question 7Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[3, 1],[2, 4]], ¿cuál es su matriz traspuesta Aᵗ?

  1. [[3, 2],[1, 4]] Correct answer.
  2. [[-3, -1],[-2, -4]]
  3. [[4, 2],[1, 3]]
  4. [[3, 1],[2, 4]]

Explanation

La traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas: la primera fila (3, 1) pasa a ser la primera columna y la segunda fila (2, 4) pasa a la segunda columna. Resulta [[3, 2],[1, 4]].

Question 8Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada A para que exista su inversa A⁻¹?

  1. Que su determinante sea distinto de cero Correct answer.
  2. Que todos sus elementos sean no nulos
  3. Que sea simétrica
  4. Que su traza sea igual a cero

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es regular, es decir, si su determinante es no nulo. En ese caso existe A⁻¹ y cumple A·A⁻¹ = I.

Question 9Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2],[0, 3]]. Calcula A².

  1. [[1, 6],[0, 6]]
  2. [[1, 8],[0, 9]] Correct answer.
  3. [[2, 4],[0, 6]]
  4. [[1, 4],[0, 9]]

Explanation

El elemento (1,1) es 1·1+2·0 = 1; el (1,2) es 1·2+2·3 = 8; el (2,1) es 0·1+3·0 = 0; el (2,2) es 0·2+3·3 = 9. Por tanto A² = [[1, 8],[0, 9]].

Question 10Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[2, -1],[3, 4]]. ¿Cuál es el valor de det(A)?

  1. 8
  2. 11 Correct answer.
  3. 5
  4. -11

Explanation

En una matriz 2×2, det(A) = ad - bc con A = [[a, b],[c, d]]. Aquí det(A) = 2·4 - (-1)·3 = 8 + 3 = 11.

Question 11Matrices, determinants and systems of linear equations

Considera el sistema: x + y = 3, 2x + 2y = 6. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Incompatible, sin solución
  2. Compatible indeterminado, con infinitas soluciones Correct answer.
  3. Compatible determinado con solución x = 1, y = 2 únicamente
  4. Compatible determinado, con solución única

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, así que ambas representan la misma recta y el sistema tiene infinitas soluciones. El rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada pero es menor que el número de incógnitas.

Question 12Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = -2. ¿Cuál es el valor de det(A⁻¹)?

  1. -1/2 Correct answer.
  2. 1/2
  3. -2
  4. 2

Explanation

Como A·A⁻¹ = I, tomando determinantes se obtiene det(A)·det(A⁻¹) = 1, de donde det(A⁻¹) = 1/det(A). Por tanto det(A⁻¹) = 1/(-2) = -1/2.

Question 13Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2],[3, 4]]. Calcula el elemento (1,2) de la matriz A·Aᵗ.

  1. 11
  2. 10 Correct answer.
  3. 7
  4. 5

Explanation

El elemento (1,2) del producto A·Aᵗ es el producto escalar de la primera fila de A por la segunda columna de Aᵗ, que coincide con la segunda fila de A. Así, 1·3 + 2·4 = 3 + 8 = 11.

Question 14Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Para qué valores de k es singular la matriz M = [[k, 2],[3, k]]?

  1. k = 6 o k = -6
  2. k = √6 o k = -√6 Correct answer.
  3. k = 0 únicamente
  4. k = 2 o k = 3

Explanation

La matriz es singular cuando su determinante es cero: det(M) = k² - 6 = 0, de donde k² = 6 y k = ±√6. Esos dos valores anulan el determinante.

Question 15Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 2×2 con det(A) = 3. ¿Cuál es el valor de det(adj(A)), donde adj(A) es la matriz adjunta de A?

  1. 6
  2. 1/3
  3. 9
  4. 3 Correct answer.

Explanation

Se cumple la relación A·adj(A) = det(A)·I. Tomando determinantes en orden 2: det(A)·det(adj(A)) = det(A)², de donde det(adj(A)) = det(A) = 3.

Question 16Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 0],[2, 1]]. ¿Cuál es la matriz inversa A⁻¹?

  1. [[1, 0],[-2, 1]] Correct answer.
  2. [[-1, 0],[2, -1]]
  3. [[1, 0],[2, 1]]
  4. [[1, 2],[0, 1]]

Explanation

El determinante es 1·1 - 0·2 = 1. La adjunta de A es [[1, 0],[-2, 1]] y, dividiendo por el determinante, A⁻¹ = [[1, 0],[-2, 1]]. Se comprueba que A·A⁻¹ = I.

Question 17Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea el sistema homogéneo A·X = 0 con A una matriz cuadrada de orden n. ¿Qué se puede afirmar?

  1. Solo admite la solución trivial para cualquier A
  2. Tiene solución única siempre que A no sea la matriz nula
  3. Siempre admite la solución trivial y, si det(A) = 0, admite infinitas soluciones Correct answer.
  4. Es incompatible cuando det(A) = 0

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque X = 0 siempre lo resuelve. Si det(A) = 0, el rango es menor que n y el sistema pasa a ser indeterminado, con infinitas soluciones.

Question 18Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el rango de la matriz B = [[1, 2, 3],[2, 4, 6],[1, 1, 1]]?

  1. 2 Correct answer.
  2. 0
  3. 1
  4. 3

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que solo quedan dos filas candidatas independientes: (1,2,3) y (1,1,1). Estas no son proporcionales, por lo que el rango es 2.

Question 19Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con det(A) = 4. ¿Cuál es el determinante de la matriz 3A?

  1. 48
  2. 24
  3. 12
  4. 36 Correct answer.

Explanation

Para una matriz de orden n, det(kA) = kⁿ·det(A). Con n = 2 y k = 3: det(3A) = 3²·4 = 9·4 = 36.

Question 20Matrices, determinants and systems of linear equations

Calcula el determinante de la matriz C = [[1, 2, 3],[0, 4, 5],[0, 0, 6]].

  1. 15
  2. 24 Correct answer.
  3. 120
  4. 0

Explanation

C es una matriz triangular superior, y en ese caso el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: 1·4·6 = 24.

Question 21Matrices, determinants and systems of linear equations

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ¿qué relación es correcta en general?

  1. det(A·B) = det(A)·det(B) Correct answer.
  2. det(A + B) = det(A) + det(B)
  3. det(A·B) = det(A) + det(B)
  4. det(A - B) = det(A) - det(B)

Explanation

El determinante es multiplicativo respecto del producto de matrices: det(A·B) = det(A)·det(B). Esta propiedad es válida para cualquier par de matrices cuadradas del mismo orden.

Question 22Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el valor de det(A²·Aᵗ)?

  1. 4
  2. 16
  3. 8 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Aplicando la multiplicatividad y que det(Aᵗ) = det(A): det(A²·Aᵗ) = det(A)²·det(A) = 2²·2 = 8.

Question 23Matrices, determinants and systems of linear equations

Halla el valor de k para el que el sistema x + y + z = 1, x + 2y + 3z = 2, x + 4y + kz = 3 es compatible indeterminado.

  1. k = 1
  2. k = 3
  3. k = 5 Correct answer.
  4. k = 0

Explanation

El sistema es compatible indeterminado cuando el determinante de la matriz de coeficientes se anula pero el rango no baja hasta hacerlo incompatible. Calculando el determinante se obtiene k - 5, que se anula en k = 5, valor para el que el sistema admite infinitas soluciones.

Question 24Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 2×2 que cumple A² = A y A ≠ I, A ≠ 0. ¿Qué se puede afirmar sobre det(A)?

  1. det(A) puede ser 1 o 0 sin más restricciones
  2. det(A) = 1, porque A² = A implica det(A)² = det(A) y descartamos el valor 0
  3. det(A) = -1, porque A es su propia inversa
  4. det(A) = 0, porque A es idempotente no trivial y por tanto singular Correct answer.

Explanation

De A² = A se deduce det(A)² = det(A), luego det(A) es 0 o 1. Si det(A) = 1, A sería invertible y multiplicando A² = A por A⁻¹ se obtiene A = I, contra la hipótesis. Por tanto det(A) = 0.

Question 25Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz 3×3 con rango 2. ¿Qué se puede concluir sobre el sistema A·X = B cuando B es una columna que pertenece al subespacio generado por las columnas de A?

  1. No puede decidirse sin conocer B explícitamente
  2. Es incompatible
  3. Es compatible determinado
  4. Es compatible indeterminado, con un grado de libertad Correct answer.

Explanation

Si B está en el subespacio columna de A, el rango de la ampliada coincide con rango(A) = 2, luego el sistema es compatible. Al ser 2 menor que el número de incógnitas (3), hay 3 - 2 = 1 grado de libertad y el sistema es indeterminado.

Question 26Matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas las matrices A = [[1, 2],[3, 4]] y B = [[0, 1],[1, 0]], ¿cuál es el resultado del producto A·B?

  1. [[0, 2],[3, 0]]
  2. [[2, 3],[1, 4]]
  3. [[2, 1],[4, 3]] Correct answer.
  4. [[1, 2],[4, 3]]

Explanation

El producto se obtiene multiplicando filas de A por columnas de B: fila 1 por columna 1 da 1·0+2·1=2, fila 1 por columna 2 da 1·1+2·0=1, y análogamente para la segunda fila se obtiene 4 y 3. La matriz resultante es [[2, 1],[4, 3]].

Question 27Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que det(A) = 4. ¿Cuál es el valor de det(−A)?

  1. 4
  2. 12
  3. −4 Correct answer.
  4. −12

Explanation

Para una matriz de orden n, al multiplicar por un escalar λ se cumple det(λA) = λⁿ·det(A). Con λ = −1 y n = 3, resulta det(−A) = (−1)³·4 = −4. El signo cambia porque el orden es impar.

Question 28Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[2, 1],[1, 2]], ¿cuál es la traza de A y su determinante, respectivamente?

  1. Traza 4 y determinante 3 Correct answer.
  2. Traza 3 y determinante 4
  3. Traza 2 y determinante 3
  4. Traza 4 y determinante 5

Explanation

La traza es la suma de los elementos de la diagonal principal: 2 + 2 = 4. El determinante de una matriz 2×2 es ad − bc = 2·2 − 1·1 = 3.

Question 29Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea el sistema lineal de dos ecuaciones: 2x + y = 4, x − y = 2. ¿Cuál es su solución (x, y)?

  1. (3, −2)
  2. (0, 4)
  3. (1, 2)
  4. (2, 0) Correct answer.

Explanation

Sumando ambas ecuaciones se elimina y: 3x = 6, luego x = 2. Sustituyendo en la segunda, 2 − y = 2, de donde y = 0. La solución es (2, 0).

Question 30Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el valor de det(3A)?

  1. 54 Correct answer.
  2. 6
  3. 18
  4. 162

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar λ, el determinante queda multiplicado por λⁿ. Aquí det(3A) = 3³·det(A) = 27·2 = 54.

Question 31Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2, 3],[0, 1, 4],[5, 6, 0]]. ¿Cuál es el valor de su determinante?

  1. 0
  2. 1 Correct answer.
  3. −1
  4. 7

Explanation

Aplicando la regla de Sarrus: 1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6 − 3·1·5 − 2·0·0 − 1·4·6 = 0 + 40 + 0 − 15 − 0 − 24 = 1. El determinante es 1.

Question 32Matrices, determinants and systems of linear equations

Se considera la matriz A = [[k, 1],[1, k]]. ¿Para qué valores de k es A invertible?

  1. Solo para k = 1
  2. Para todo k mayor que 0
  3. Para todo k distinto de 0
  4. Para todo k distinto de 1 y de −1 Correct answer.

Explanation

La matriz es invertible cuando su determinante no es nulo: det(A) = k² − 1. Igualando a cero, k² = 1, es decir, k = 1 o k = −1. Por tanto, es invertible para todo k distinto de 1 y de −1.

Question 33Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con det(A) = 5. ¿Cuál es el valor de det(A⁻¹ · Aᵗ)?

  1. 5
  2. 25
  3. 1 Correct answer.
  4. 1/5

Explanation

Se cumple det(A⁻¹·Aᵗ) = det(A⁻¹)·det(Aᵗ). Como det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/5 y det(Aᵗ) = det(A) = 5, el producto es (1/5)·5 = 1.

Question 34Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[1, 2],[2, 4]], ¿cuál es su rango?

  1. 3
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. 2

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, por lo que son linealmente dependientes. El rango coincide con el número de filas linealmente independientes, que es 1. Además, det(A) = 1·4 − 2·2 = 0, lo que confirma que no tiene rango 2.

Question 35Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea el sistema x + y + z = 2, 2x + 2y + 2z = 4, x − y = 0. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Homogéneo con solución única
  2. Compatible determinado
  3. Incompatible
  4. Compatible indeterminado Correct answer.

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que aporta la misma información y el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes con tres incógnitas. Al haber más incógnitas que ecuaciones independientes, existen infinitas soluciones: es compatible indeterminado.

Question 36Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 0 y rango(A) = 2. ¿Qué se puede afirmar sobre el sistema A·X = B cuando B es un vector columna que no pertenece al subespacio columna de A?

  1. El sistema tiene solución única
  2. El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad
  3. El sistema es incompatible Correct answer.
  4. El sistema tiene infinitas soluciones dependientes de dos parámetros

Explanation

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz ampliada coincide con el rango de A. Si B no está en el subespacio columna, la ampliada tiene rango 3 frente al rango 2 de A, y el sistema es incompatible.

Question 37Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 que cumple A² = A y A ≠ I, A ≠ 0. ¿Qué se puede afirmar sobre det(A)?

  1. det(A) = 0 Correct answer.
  2. det(A) = −1
  3. det(A) puede ser 0 o 1 indistintamente
  4. det(A) = 1

Explanation

De A² = A se deduce A(A − I) = 0, y tomando determinantes, det(A)·det(A − I) = 0. Si det(A) ≠ 0, A sería invertible y multiplicando por A⁻¹ se obtendría A = I, en contra de la hipótesis. Por tanto, det(A) = 0.

Question 38Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el valor de det(adj(A)), donde adj(A) es la matriz adjunta de A?

  1. 2
  2. 8
  3. 4 Correct answer.
  4. 1/2

Explanation

Para una matriz de orden n se cumple det(adj(A)) = det(A)^(n−1). Con n = 3 y det(A) = 2, resulta det(adj(A)) = 2² = 4.

Question 39Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 cuyas filas son linealmente independientes. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?

  1. La matriz A no es invertible
  2. El sistema A·X = 0 tiene infinitas soluciones
  3. El determinante de A es nulo
  4. El sistema A·X = 0 solo admite la solución trivial Correct answer.

Explanation

Si las filas de A son linealmente independientes, el rango es 3, igual al número de incógnitas, y det(A) ≠ 0. Un sistema homogéneo con matriz de coeficientes invertible solo admite la solución trivial X = 0.

Question 40Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 3 y sea B la matriz que se obtiene al sumar a la segunda fila de A el triple de la primera fila. ¿Cuál es el valor de det(B)?

  1. −3
  2. 0
  3. 3 Correct answer.
  4. 9

Explanation

Una operación elemental del tipo F₂ → F₂ + 3F₁ no modifica el determinante, ya que equivale a sumar un múltiplo de una fila a otra. Por tanto, det(B) = det(A) = 3. Solo multiplicar una fila por un escalar o intercambiar filas altera el determinante.

Question 41Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

En el espacio afín tridimensional, dados los puntos A(1, 2, 3) y B(4, 6, 3), ¿cuáles son las coordenadas del vector AB?

  1. (5, 8, 6)
  2. (3, 4, 0) Correct answer.
  3. (-3, -4, 0)
  4. (3, 4, 6)

Explanation

El vector AB se obtiene restando las coordenadas del origen a las del extremo: B menos A. Así, (4-1, 6-2, 3-3) = (3, 4, 0). La tercera componente es nula porque ambos puntos comparten la misma cota.

Question 42Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

Dados los vectores u = (2, -1, 3) y v = (1, 4, -2), ¿cuál es el resultado de u + 2v?

  1. (4, 7, -1) Correct answer.
  2. (5, 6, 4)
  3. (4, 7, 1)
  4. (3, 3, 1)

Explanation

Primero se multiplica v por el escalar 2, obteniendo (2, 8, -4). Después se suma componente a componente con u: (2+2, -1+8, 3-4) = (4, 7, -1).

Question 43Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

¿Cuál es el módulo del vector w = (2, -3, 6)?

  1. 11
  2. 5
  3. √41
  4. 7 Correct answer.

Explanation

El módulo se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes: √(4+9+36) = √49 = 7. Es un vector de longitud exacta 7.

Question 44Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

Dos vectores u y v del espacio son linealmente dependientes. ¿Qué condición cumplen necesariamente?

  1. Su producto escalar es nulo
  2. Su producto vectorial es no nulo
  3. Sus módulos son iguales
  4. Uno es múltiplo escalar del otro Correct answer.

Explanation

La dependencia lineal de dos vectores significa que existen escalares no ambos nulos con αu + βv = 0, lo que equivale a que uno sea múltiplo escalar del otro. Es la caracterización básica de vectores paralelos en el espacio.

Question 45Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

Dados u = (1, 2, 2) y v = (2, -1, 0), calcula su producto escalar u·v.

  1. 2
  2. -4
  3. 0 Correct answer.
  4. 4

Explanation

El producto escalar se obtiene multiplicando componente a componente y sumando: 1·2 + 2·(-1) + 2·0 = 2 - 2 + 0 = 0. Al ser nulo, los vectores son perpendiculares.

Question 46Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

¿Cuál de las siguientes es la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P(1, 0, -2) y tiene vector director d = (3, -1, 4)?

  1. (x, y, z) = (1, 0, -2) · t(3, -1, 4)
  2. (x, y, z) = (1, 0, -2) + t(3, -1, 4) Correct answer.
  3. (x, y, z) = (3, -1, 4) + t(1, 0, -2)
  4. (x, y, z) = (1, 0, -2) + (3, -1, 4)

Explanation

La ecuación vectorial de una recta es X = P + t·d, donde P es un punto de la recta y d un vector director. Por tanto, (x, y, z) = (1, 0, -2) + t(3, -1, 4) con t real.

Question 47Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

El plano π tiene por ecuación 2x - y + 3z = 6. ¿Cuál es un vector normal a dicho plano?

  1. (2, -1, 3) Correct answer.
  2. (2, 1, 3)
  3. (1, 1, 1)
  4. (-2, 1, 0)

Explanation

En la ecuación general ax + by + cz = d, el vector (a, b, c) es perpendicular al plano. Por tanto, el vector normal es (2, -1, 3), formado por los coeficientes de x, y, z.

Question 48Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

Dos rectas del espacio tienen vectores directores paralelos pero no son coincidentes. ¿Cómo son entre sí?

  1. Paralelas Correct answer.
  2. Que se cruzan
  3. Secantes
  4. Perpendiculares

Explanation

Si los vectores directores son paralelos, las rectas tienen la misma dirección. Al no ser coincidentes, no comparten ningún punto, por lo que son rectas paralelas en el espacio.

Question 49Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

Dados u = (1, 0, 2) y v = (0, 3, 1), calcula el producto vectorial u × v.

  1. (6, 1, -3)
  2. (3, 1, 6)
  3. (-6, 1, 3)
  4. (-6, -1, 3) Correct answer.

Explanation

Aplicando el determinante simbólico, la primera componente es 0·1 - 2·3 = -6, la segunda es 2·0 - 1·1 = -1 y la tercera es 1·3 - 0·0 = 3. Resulta (-6, -1, 3).

Question 50Vectors and analytic geometry in three-dimensional space

Calcula el área del paralelogramo determinado por los vectores u = (1, 2, 2) y v = (2, 1, -2).

  1. √81/2
  2. 9 Correct answer.
  3. 18
  4. 3

Explanation

El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial. u × v = (-6, 6, -3), cuyo módulo es √(36+36+9) = √81 = 9. Por tanto, el área es 9 unidades cuadradas.