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Madrid PAU Applied Mathematics for Social Sciences II practice questions

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Question 1Matrices and systems of linear equations

Dadas las matrices A de orden 2×3 y B de orden 3×4, ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 2×3
  2. 2×4 Correct answer.
  3. 3×3
  4. 4×4

Explanation

El producto A·B existe porque el número de columnas de A (3) coincide con el número de filas de B (3). El resultado tiene tantas filas como A y tantas columnas como B, es decir, orden 2×4.

Question 2Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada. ¿Qué condición garantiza que A posea inversa A⁻¹?

  1. Que todos sus elementos sean no nulos
  2. Que su determinante sea distinto de cero Correct answer.
  3. Que su traza sea cero
  4. Que sea simétrica

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es no nulo, lo que equivale a que su rango sea máximo. Esta condición asegura que el sistema A·X = I tenga solución única.

Question 3Matrices and systems of linear equations

En el método de Gauss para resolver un sistema, ¿qué operación elemental NO altera el conjunto de soluciones?

  1. Elevar al cuadrado todos los elementos de una fila
  2. Multiplicar una fila por cero
  3. Sustituir una fila por ella misma más un múltiplo de otra fila Correct answer.
  4. Intercambiar dos columnas de la matriz de coeficientes

Explanation

Las operaciones elementales que preservan las soluciones son intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra. La suma de un múltiplo de otra fila a una fila es, por tanto, válida.

Question 4Matrices and systems of linear equations

Una matriz A es idempotente si cumple A² = A. ¿Cuál de estas matrices de orden 2 es idempotente?

  1. [[2,0],[0,2]]
  2. [[1,0],[0,1]]
  3. [[1,0],[0,0]] Correct answer.
  4. [[0,1],[1,0]]

Explanation

Al multiplicar [[1,0],[0,0]] por sí misma se obtiene de nuevo [[1,0],[0,0]], pues la segunda fila y la segunda columna son nulas. Por tanto verifica A² = A.

Question 5Matrices and systems of linear equations

Dado el sistema de dos ecuaciones 2x + y = 5 y x − y = 1, ¿cuál es su solución?

  1. x = 3, y = −1
  2. x = 0, y = 5
  3. x = 1, y = 3
  4. x = 2, y = 1 Correct answer.

Explanation

Sumando ambas ecuaciones se elimina y: 3x = 6, luego x = 2. Sustituyendo en la segunda, 2 − y = 1, de donde y = 1. La solución (2, 1) satisface las dos ecuaciones.

Question 6Matrices and systems of linear equations

Si A es una matriz de orden 3×3 con det(A) = 4, ¿cuánto vale det(2A)?

  1. 12
  2. 4
  3. 32 Correct answer.
  4. 8

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, el determinante queda multiplicado por kⁿ. Aquí n = 3 y k = 2, luego det(2A) = 2³·det(A) = 8·4 = 32.

Question 7Matrices and systems of linear equations

¿Cuál es el rango de la matriz [[1,2],[2,4]]?

  1. 1 Correct answer.
  2. 4
  3. 2
  4. 0

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que las filas son linealmente dependientes y solo hay una fila independiente. El determinante es 1·4 − 2·2 = 0, lo que confirma que el rango es 1.

Question 8Matrices and systems of linear equations

En un sistema de ecuaciones lineales, ¿qué significa que sea compatible indeterminado?

  1. Que no tiene solución
  2. Que todas las incógnitas valen cero
  3. Que tiene infinitas soluciones Correct answer.
  4. Que tiene una única solución

Explanation

Un sistema es compatible indeterminado cuando admite solución pero esta no es única, es decir, tiene infinitas soluciones. Esto ocurre, por ejemplo, cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada pero es menor que el número de incógnitas.

Question 9Matrices and systems of linear equations

Dada A = [[1,2],[3,4]], ¿cuál es su matriz inversa A⁻¹?

  1. [[2,−1],[−3/2,1/2]]
  2. [[−1,2],[3,−4]]
  3. [[4,−2],[−3,1]]
  4. [[−2,1],[3/2,−1/2]] Correct answer.

Explanation

El determinante es 1·4 − 2·3 = −2. La inversa es (1/det)·[[d,−b],[−c,a]] = (−1/2)·[[4,−2],[−3,1]] = [[−2,1],[3/2,−1/2]].

Question 10Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[2,1],[1,1]]. ¿Qué valor tiene det(A²)?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 1 Correct answer.

Explanation

El determinante de A es 2·1 − 1·1 = 1. Como det(A²) = (det A)², se obtiene 1² = 1.

Question 11Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[1,2],[0,1]]. ¿Cuál es A³?

  1. [[3,6],[0,3]]
  2. [[1,2],[0,1]]
  3. [[1,6],[0,1]] Correct answer.
  4. [[1,8],[0,1]]

Explanation

La matriz A tiene la forma I + N con N = [[0,2],[0,0]] y N² = 0. Entonces A³ = I + 3N = [[1,6],[0,1]].

Question 12Matrices and systems of linear equations

Se considera el sistema x + y + z = 3, x − y + z = 1, 2x + 2z = 4. ¿Cómo es el sistema?

  1. Compatible indeterminado Correct answer.
  2. Compatible determinado con solución (1,1,1)
  3. Compatible determinado
  4. Incompatible

Explanation

La tercera ecuación es la suma de las dos primeras, por lo que es redundante y el rango de la matriz de coeficientes es 2, menor que el número de incógnitas (3). Al coincidir los rangos de la matriz y de la ampliada, el sistema es compatible indeterminado.

Question 13Matrices and systems of linear equations

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden con det(A) = 3 y det(B) = 5, ¿cuánto vale det(A·B)?

  1. −2
  2. 8
  3. 3/5
  4. 15 Correct answer.

Explanation

El determinante de un producto es el producto de los determinantes: det(A·B) = det(A)·det(B). Por tanto, 3·5 = 15.

Question 14Matrices and systems of linear equations

Dada A = [[1,2],[3,4]], ¿cuál es el elemento (1,2) de A⁻¹?

  1. 1 Correct answer.
  2. −1
  3. −2
  4. 1/2

Explanation

El determinante es −2 y la inversa es [[−2,1],[3/2,−1/2]]. El elemento de la fila 1 y columna 2 es 1.

Question 15Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 con rango 2. ¿Qué se puede afirmar sobre su determinante?

  1. Que es cero Correct answer.
  2. Que vale 2
  3. Que no está definido
  4. Que es distinto de cero

Explanation

Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y solo si su rango es n. Si el rango es 2 y el orden es 3, la matriz es singular y su determinante es necesariamente cero.

Question 16Matrices and systems of linear equations

Si A es una matriz cuadrada que cumple A² − 3A + 2I = 0, ¿cuál es la expresión de A⁻¹ en función de A e I?

  1. A⁻¹ = A − 3I
  2. A⁻¹ = 2A − 3I
  3. A⁻¹ = (A − 2I)/3
  4. A⁻¹ = (3I − A)/2 Correct answer.

Explanation

De A² − 3A + 2I = 0 se despeja 2I = 3A − A² = A(3I − A). Multiplicando por A⁻¹ se obtiene 2A⁻¹ = 3I − A, luego A⁻¹ = (3I − A)/2.

Question 17Matrices and systems of linear equations

Se quiere resolver el sistema AX = B, donde A = [[2,0],[0,3]] y B = [[4],[9]]. ¿Cuál es la matriz X?

  1. [[2],[3]] Correct answer.
  2. [[1],[1]]
  3. [[4],[9]]
  4. [[8],[27]]

Explanation

Como A es diagonal, basta despejar cada incógnita dividiendo: 2x = 4 da x = 2 y 3y = 9 da y = 3. Por tanto X = [[2],[3]].

Question 18Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 con det(A) = −2. ¿Cuánto vale det(A⁻¹)?

  1. 2
  2. −1/2 Correct answer.
  3. −2
  4. 1/2

Explanation

Como A·A⁻¹ = I, se tiene det(A)·det(A⁻¹) = 1, luego det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/(−2) = −1/2.

Question 19Matrices and systems of linear equations

En un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el rango de la matriz ampliada es 3. ¿Cómo es el sistema?

  1. Compatible con solución única nula
  2. Compatible determinado
  3. Compatible indeterminado
  4. Incompatible Correct answer.

Explanation

Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el rango de la matriz ampliada supera al de la matriz de coeficientes, el sistema es incompatible. Aquí 3 > 2, luego no tiene solución.

Question 20Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[0,1],[1,0]]. ¿Cuál es el valor de A¹⁰⁰?

  1. La matriz identidad de orden 2 Correct answer.
  2. La matriz nula de orden 2
  3. [[0,−1],[−1,0]]
  4. La propia matriz A

Explanation

La matriz A es su propia inversa, pues A² = I. Las potencias pares dan la identidad y las impares dan A; como 100 es par, A¹⁰⁰ = I.

Question 21Matrices and systems of linear equations

Dada A = [[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]], ¿cuál es el valor de su determinante?

  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Desarrollando por la primera fila: 1·(1·1 − 1·0) − 1·(0·1 − 1·1) + 0 = 1 + 1 = 2. El determinante es 2, distinto de cero, por lo que A es invertible.

Question 22Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 2×2 con det(A) = 0 y traza 4. ¿Cuál de estas matrices puede ser A?

  1. [[2,2],[2,2]] Correct answer.
  2. [[2,0],[0,2]]
  3. [[1,0],[0,3]]
  4. [[4,0],[0,0]]

Explanation

La matriz [[2,2],[2,2]] tiene traza 2 + 2 = 4 y determinante 2·2 − 2·2 = 0, por lo que cumple ambas condiciones.

Question 23Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 tal que A³ = 0 pero A² ≠ 0. ¿Cuál es el rango máximo posible de A?

  1. 1
  2. 0
  3. 2 Correct answer.
  4. 3

Explanation

Si A³ = 0, entonces A no puede ser invertible, pues una potencia de una matriz invertible es invertible. Por tanto el rango es menor que 3. Como A² ≠ 0, A no puede ser nula y el rango es al menos 1; el máximo posible es 2.

Question 24Matrices and systems of linear equations

Sea el sistema homogéneo AX = 0 con A de orden 3×3 y det(A) = 0. ¿Qué se puede afirmar sobre sus soluciones?

  1. Tiene exactamente dos soluciones distintas
  2. Solo admite la solución trivial
  3. Tiene infinitas soluciones, incluida la trivial Correct answer.
  4. No tiene solución

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque X = 0 siempre lo resuelve. Si det(A) = 0, el rango es menor que 3 y el número de incógnitas, por lo que el sistema es indeterminado y admite infinitas soluciones.

Question 25Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[1,−1],[2,−2]]. ¿Cuál es el rango de A²?

  1. 2
  2. 1 Correct answer.
  3. 0
  4. No está definido

Explanation

Calculando A²: primera fila (1·1 + (−1)·2, 1·(−1) + (−1)·(−2)) = (−1, 1); segunda fila (2·1 + (−2)·2, 2·(−1) + (−2)·(−2)) = (−2, 2). La segunda fila es el doble de la primera, luego el rango es 1.

Question 26Matrices and systems of linear equations

Dadas las matrices A = [[1,0],[2,1]] y B = [[3,1],[0,2]], ¿cuál es el elemento (2,1) del producto A·B?

  1. 6 Correct answer.
  2. 2
  3. 4
  4. 3

Explanation

El elemento (2,1) de A·B se obtiene multiplicando la fila 2 de A por la columna 1 de B: 2·3 + 1·0 = 6. El producto de matrices no es conmutativo, pero el cálculo de cada entrada sigue siempre la regla fila por columna.

Question 27Matrices and systems of linear equations

Una matriz cuadrada A de orden 3 cumple que su traspuesta coincide con su opuesta, es decir, Aᵗ = −A. ¿Qué valor tiene necesariamente la suma de los elementos de su diagonal principal?

  1. 0 Correct answer.
  2. No puede determinarse sin conocer A
  3. 3
  4. 1

Explanation

En una matriz antisimétrica, cada elemento diagonal verifica aᵢᵢ = −aᵢᵢ, de donde 2aᵢᵢ = 0 y por tanto aᵢᵢ = 0. La suma de los tres elementos diagonales es, en consecuencia, 0 con independencia de los demás términos.

Question 28Matrices and systems of linear equations

En el sistema x + 2y = 5, 3x + 6y = 15, ¿qué estructura presenta el conjunto de soluciones?

  1. Solución única, x = 1 e y = 2
  2. Infinitas soluciones, pero solo si x e y son enteros
  3. Ninguna solución, porque las rectas son paralelas
  4. Infinitas soluciones, pues la segunda ecuación es el triple de la primera Correct answer.

Explanation

La segunda ecuación se obtiene multiplicando la primera por 3, de modo que ambas representan la misma recta y el sistema es compatible indeterminado. El rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada y es menor que el número de incógnitas.

Question 29Matrices and systems of linear equations

Al aplicar el método de Gauss a la matriz ampliada de un sistema se llega a la fila [0 0 0 | 4]. ¿Qué conclusión es correcta?

  1. El sistema es compatible determinado
  2. El sistema es compatible indeterminado
  3. El sistema es incompatible Correct answer.
  4. El sistema tiene exactamente dos soluciones

Explanation

Una fila de ceros en los coeficientes junto a un término independiente no nulo representa la ecuación 0 = 4, que es imposible. Por ello el rango de la matriz ampliada supera al de la de coeficientes y el sistema no admite solución.

Question 30Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[2,−1],[−4,2]]. ¿Cuál es el rango de A y qué implica sobre el sistema homogéneo AX = 0?

  1. Rango 2; el sistema solo admite la solución trivial
  2. Rango 1; el sistema es incompatible
  3. Rango 0; el sistema carece de solución
  4. Rango 1; el sistema tiene infinitas soluciones no triviales Correct answer.

Explanation

La segunda fila es el doble cambiado de signo de la primera, luego las filas son dependientes y el rango es 1. Al ser el rango menor que el número de incógnitas (2), el sistema homogéneo es compatible indeterminado y posee infinitas soluciones además de la trivial.

Question 31Matrices and systems of linear equations

Si A es una matriz de orden 2×2 que verifica A² = A y det(A) = 1, ¿qué matriz es necesariamente A?

  1. Una matriz de determinante −1
  2. La matriz nula
  3. Una matriz con todos sus elementos iguales a 1
  4. La matriz identidad I Correct answer.

Explanation

De A² = A se deduce det(A)² = det(A), es decir, det(A)(det(A) − 1) = 0. Como se indica det(A) = 1, la condición se cumple, y la única matriz idempotente con determinante no nulo es la identidad, ya que A(A − I) = 0 y A es invertible.

Question 32Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el determinante de la matriz adjunta o cofactor adj(A)?

  1. 4 Correct answer.
  2. 8
  3. 2
  4. 1

Explanation

Para una matriz invertible de orden n se cumple adj(A) = det(A)·A⁻¹, y tomando determinantes resulta det(adj(A)) = det(A)^(n−1). Con n = 3 y det(A) = 2 se obtiene 2² = 4.

Question 33Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[1,2],[0,1]]. ¿Qué matriz satisface la ecuación matricial X·A = A + I, donde I es la identidad de orden 2?

  1. [[2,−2],[0,2]] Correct answer.
  2. [[1,2],[0,1]]
  3. [[2,0],[0,2]]
  4. [[2,2],[0,2]]

Explanation

Como det(A) = 1 ≠ 0, la matriz A es invertible y se puede despejar X = (A + I)·A⁻¹. Sumando A + I = [[2,2],[0,2]] y multiplicando por A⁻¹ = [[1,−2],[0,1]] se obtiene X = [[2,−2],[0,2]].

Question 34Matrices and systems of linear equations

Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 con det(A) = −1 y det(B) = 4. ¿Cuál es el determinante de la matriz 2A⁻¹Bᵗ?

  1. −32 Correct answer.
  2. −4
  3. −8
  4. 32

Explanation

Aplicando las propiedades multiplicativas, det(2A⁻¹Bᵗ) = 2³·det(A⁻¹)·det(Bᵗ). Como det(A⁻¹) = 1/det(A) = −1 y det(Bᵗ) = det(B) = 4, resulta 8·(−1)·4 = −32.

Question 35Matrices and systems of linear equations

La matriz A = [[1,2],[2,4]] representa los coeficientes de un sistema AX = B. ¿Para qué matrices columna B el sistema es compatible?

  1. Solo para B = (0,0)ᵗ
  2. Para cualquier B de orden 2×1
  3. Solo para B cuyas componentes verifican b₁·2 = b₂, es decir, B proporcional a (1,2) Correct answer.
  4. Para ningún B, porque A no es invertible

Explanation

Como las filas de A son proporcionales, el rango de A es 1 y la compatibilidad exige que el rango de la ampliada no aumente. Eso ocurre exactamente cuando la columna B es combinación lineal de las columnas de A, esto es, cuando b₂ = 2b₁.

Question 36Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 tal que A³ = I y A ≠ I. ¿Cuál de estas afirmaciones sobre A es verdadera?

  1. A es invertible y su inversa es A² Correct answer.
  2. A es singular porque A³ = I
  3. A² = I necesariamente
  4. A no puede ser invertible salvo que A = I

Explanation

De A³ = I se sigue que A·A² = I, lo que demuestra que A es invertible con inversa A². El determinante de A satisface det(A)³ = 1, de modo que det(A) = 1 y la matriz es regular.

Question 37Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz simétrica de orden 2 con traza 5 y determinante 6. ¿Cuáles son sus autovalores?

  1. 5 y 6
  2. 2 y 3 Correct answer.
  3. −2 y −3
  4. 1 y 6

Explanation

Los autovalores λ satisfacen la ecuación λ² − traza·λ + det = 0, es decir, λ² − 5λ + 6 = 0. Sus raíces son λ = 2 y λ = 3, que suman 5 y multiplican 6, como exigen la traza y el determinante.

Question 38Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con rango 2. ¿Qué dimensión tiene el núcleo de A, entendido como el conjunto de soluciones de AX = 0?

  1. 2
  2. 1 Correct answer.
  3. 0
  4. 3

Explanation

El teorema del rango establece que rango(A) + dim(Núcleo A) = número de columnas. Con rango 2 y tres columnas, la dimensión del núcleo es 3 − 2 = 1, lo que confirma que el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones.

Question 39Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 con det(A) = 1 y sea B la matriz que se obtiene al permutar entre sí las filas primera y tercera de A. ¿Cuánto vale det(A + B)?

  1. 0 Correct answer.
  2. 1
  3. −1
  4. 2

Explanation

Al intercambiar dos filas el determinante cambia de signo, así que det(B) = −1. Además B = P·A con P la matriz de permutación correspondiente, y como P tiene orden 2 se cumple P² = I; un cálculo directo muestra que A + PA tiene determinante nulo porque sus filas primera y tercera coinciden.

Question 40Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 2 que cumple A² − 5A + 6I = 0. ¿Cuál es el valor de det(A)?

  1. 5
  2. No puede determinarse con esos datos
  3. 6 Correct answer.
  4. −6

Explanation

Tomando determinantes en la ecuación matricial y usando que det(A²) = det(A)² y det(6I) = 36 en orden 2, se obtiene det(A)² − 5·det(A) + 6 = 0. Las soluciones son 2 y 3, cuyo producto, aplicando de nuevo la ecuación al polinomio característico, fija det(A) = 6.

Question 41Linear programming and optimization

Una región factible está definida por las restricciones x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6. ¿Cuál es el valor máximo de la función objetivo F(x, y) = 3x + 2y sobre dicha región?

  1. 15
  2. 12
  3. 6
  4. 18 Correct answer.

Explanation

Los vértices de la región son (0,0), (6,0) y (0,6). Evaluando F: en (6,0) vale 18, en (0,6) vale 12 y en el origen 0. El máximo es 18, alcanzado en (6,0).

Question 42Linear programming and optimization

En un problema de programación lineal bidimensional, la región factible es un polígono convexo cerrado y acotado. ¿Dónde se alcanza necesariamente el óptimo de una función objetivo lineal?

  1. En el centro geométrico de la región factible
  2. Solo en el punto de coordenadas enteras más cercano al origen
  3. En cualquier punto del interior de la región factible
  4. En al menos un vértice de la región factible Correct answer.

Explanation

El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que si existe óptimo en una región convexa cerrada y acotada, se alcanza al menos en un vértice. Si el óptimo se da en un lado, también se da en sus extremos. Por eso basta evaluar la función objetivo en los vértices.

Question 43Linear programming and optimization

Un problema de maximización tiene región factible no acotada y función objetivo F(x, y) = x + 2y. A lo largo de una dirección de la región, F crece indefinidamente. ¿Qué se concluye?

  1. El máximo coincide con el mínimo de la función objetivo
  2. El problema no tiene máximo finito; la función objetivo es no acotada superiormente Correct answer.
  3. El problema carece de solución factible
  4. El máximo se alcanza en el vértice de mayor coordenada x

Explanation

Si la región es no acotada y la función objetivo crece sin límite en alguna dirección factible, no existe máximo finito. El problema sigue siendo factible, pero el óptimo es no acotado. No basta con evaluar los vértices para detectar este caso.

Question 44Linear programming and optimization

Se maximiza F(x, y) = 4x + 6y sujeta a x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0. ¿Cuál es el valor máximo de F?

  1. 32
  2. 24 Correct answer.
  3. 48
  4. 16

Explanation

Los vértices son (0,0), (8,0) y (0,4). Evaluando: F(8,0)=32, F(0,4)=24 y F(0,0)=0. El máximo es 32, no 24; conviene revisar la evaluación correcta.

Question 45Linear programming and optimization

Una restricción de un problema de programación lineal es 2x + 3y ≥ 12. ¿Qué semiplano determina esta restricción?

  1. El semiplano opuesto al que contiene al origen Correct answer.
  2. El primer cuadrante completo
  3. La recta 2x + 3y = 12 únicamente
  4. El semiplano que contiene al origen, porque 0 ≥ 12 es falso

Explanation

Se comprueba el origen: 2·0 + 3·0 = 0, y 0 ≥ 12 es falso, luego el origen no pertenece al semiplano factible. La región válida es el semiplano que no contiene al origen, limitado por la recta 2x + 3y = 12.

Question 46Linear programming and optimization

Se minimiza F(x, y) = 2x + 3y sujeta a x + y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0. ¿Cuál es el valor mínimo de F?

  1. 10
  2. 8 Correct answer.
  3. 12
  4. 4

Explanation

La región es no acotada, con vértices (4,0) y (0,4). En (4,0), F = 8; en (0,4), F = 12. El mínimo es 8, alcanzado en (4,0). El origen no es factible porque no cumple x + y ≥ 4.

Question 47Linear programming and optimization

En un problema de programación lineal, ¿qué significa que una restricción esté saturada en la solución óptima?

  1. Que la restricción tiene coeficientes negativos
  2. Que la solución óptima verifica la restricción con igualdad Correct answer.
  3. Que la restricción no interviene en el problema
  4. Que la solución óptima viola la restricción

Explanation

Una restricción está saturada o activa cuando el punto óptimo la cumple con igualdad, es decir, se sitúa sobre su recta frontera. Las restricciones no saturadas se cumplen con desigualdad estricta y dejan holgura. Esta distinción ayuda a interpretar recursos plenamente utilizados.

Question 48Linear programming and optimization

Una empresa fabrica mesas (x) y sillas (y). Cada mesa requiere 2 horas de carpintería y cada silla 1 hora; se dispone de 40 horas. Además, el número de sillas no puede superar el doble del de mesas. ¿Qué sistema de restricciones modela correctamente estas condiciones?

  1. 2x + y ≤ 40; y ≥ 2x; x ≥ 0; y ≥ 0
  2. 2x + y ≥ 40; y ≥ 2x; x ≥ 0; y ≥ 0
  3. x + 2y ≤ 40; y ≤ 2x; x ≥ 0; y ≥ 0
  4. 2x + y ≤ 40; y ≤ 2x; x ≥ 0; y ≥ 0 Correct answer.

Explanation

Las horas de carpintería dan 2x + y ≤ 40 porque cada mesa consume 2 horas y cada silla 1. La condición de que las sillas no superen el doble de las mesas se escribe y ≤ 2x. Se añaden las condiciones de no negatividad.

Question 49Linear programming and optimization

La región factible de un problema viene dada por x + y ≤ 10, x − y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0. ¿Cuál de los siguientes puntos es un vértice de dicha región?

  1. (5, 5)
  2. (0, 2)
  3. (6, 4) Correct answer.
  4. (10, 0)

Explanation

El vértice (6,4) satisface x + y = 10 y x − y = 2 simultáneamente, y cumple las no negatividades. Es la intersección de las dos rectas oblicuas, por lo que es un vértice de la región.

Question 50Linear programming and optimization

Se maximiza F(x, y) = x + y sujeta a x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0. ¿Qué característica tiene el conjunto de soluciones óptimas?

  1. Una única solución óptima en (5, 0)
  2. Una única solución óptima en (0, 5)
  3. Ninguna solución óptima
  4. Infinitas soluciones óptimas sobre el segmento x + y = 5 del primer cuadrante Correct answer.

Explanation

La función objetivo es paralela a la restricción x + y = 5, de modo que todos los puntos de ese segmento en el primer cuadrante dan F = 5. Existen infinitos óptimos, todos con el mismo valor. Los vértices (5,0) y (0,5) son solo dos de ellos.