Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Este bloque abre la prueba: se pide operar con matrices (producto, potencia, inversa, ecuaciones matriciales), calcular rangos y determinantes y, sobre todo, discutir y resolver un sistema con parámetro aplicando el teorema de Rouché-Fontené.
Operaciones, determinante y rango
- El producto de matrices no es conmutativo; se cumple (AB)^t = B^t·A^t y, si existen las inversas, (AB)^(-1) = B^(-1)·A^(-1).
- A es invertible si y solo si det A ≠ 0, y entonces A^(-1) = adj(A)^t / det A.
- El rango es el orden del mayor menor no nulo y no cambia con operaciones elementales de fila. En una matriz cuadrada n×n, rango < n equivale a det A = 0.
- En un sistema homogéneo (términos independientes nulos) nunca hay incompatibilidad: siempre existe la solución trivial, y será indeterminado si rango < número de incógnitas.
Discusión con Rouché-Fontené
Si rango A ≠ rango A*, el sistema es incompatible. Si rango A = rango A* = número de incógnitas, es compatible determinado (se resuelve por Cramer o por sustitución). Si rango A = rango A* < número de incógnitas, es compatible indeterminado con tantos parámetros como incógnitas menos rango. Para discutir con parámetro se anula primero el determinante de la mayor submatriz cuadrada, se obtienen los valores críticos y se estudia cada caso por separado en la matriz ampliada.
Ejemplo resuelto
Discutir y resolver: x + y + z = 1; x + y + az = 1; x + ay + z = 1. El determinante de la matriz de coeficientes es 1(1 − a²) − 1(1 − a) + 1(a − 1) = −(a − 1)². Si a ≠ 1, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado. Restando la segunda ecuación a la primera: (1 − a)z = 0, luego z = 0; restando la tercera a la primera: (1 − a)y = 0, luego y = 0; y entonces x = 1. Solución única (1, 0, 0). Si a = 1, las tres ecuaciones se reducen a x + y + z = 1: rango A = rango A* = 1 < 3, compatible indeterminado con solución (1 − λ − μ, λ, μ).
Errores que restan puntos
- Dar solo el caso genérico y olvidar los valores del parámetro que anulan el determinante.
- Confundir el rango de A con el de A* precisamente en esos casos críticos.
- Dividir por (1 − a) sin exigir antes a ≠ 1.
- Fallos de signo al desarrollar un determinante 3×3 con la regla de Sarrus.