Programación lineal y optimización
La programación lineal es un bloque muy predecible: se pide formular un problema a partir de un enunciado (producción, dieta, transporte, horas de taller) y resolverlo por el método gráfico o evaluando los vértices de la región factible.
Planteamiento y resolución
- Variables de decisión: qué decide el problema (x = unidades de A, y = unidades de B).
- Restricciones lineales, casi siempre acompañadas de x ≥ 0, y ≥ 0.
- Función objetivo: la que se maximiza (beneficio, ingresos) o minimiza (coste).
- Región factible: intersección de los semiplanos; para saber qué lado se toma se prueba un punto, habitualmente el origen, en cada inecuación.
- Teorema fundamental: si la región es no vacía y acotada, el óptimo se alcanza en al menos un vértice. Basta evaluar la función objetivo en todos los vértices y quedarse con el mayor o el menor valor según el caso.
- Si la función objetivo es paralela a un lado, hay infinitas soluciones óptimas (todo ese segmento). Si la región no está acotada, hay que comprobar si el óptimo existe de verdad.
Ejemplo resuelto
Maximizar f(x, y) = 3x + 2y sujeto a x + y ≤ 4, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0. Las rectas x + y = 4 y x + 2y = 6 se cortan en (2, 2), punto factible. Los vértices son (0, 0), (4, 0), (2, 2) y (0, 3). Valores: f(0, 0) = 0; f(4, 0) = 12; f(2, 2) = 10; f(0, 3) = 6. El máximo es 12 y se alcanza en (4, 0): cuatro unidades de A y ninguna de B.
Errores que restan puntos
- Elegir el vértice con el valor numérico mayor sin comprobar si el problema pide máximo o mínimo.
- Representar mal una recta; conviene usar los cortes con los ejes en lugar de pendientes aproximadas.
- Incluir como vértice el corte de dos rectas que queda fuera de la región factible.
- Olvidar la no negatividad y admitir soluciones imposibles.
- No responder a la pregunta concreta del enunciado (unidades producidas, beneficio máximo, coste mínimo).