Límites, continuidad y derivadas; análisis y optimización de funciones
Aquí se examinan límites con indeterminaciones, continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos y el análisis completo de una función: asíntotas, monotonía, extremos, curvatura y optimización aplicada.
Límites y continuidad
- Indeterminaciones 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ y 1^∞; esta última se resuelve con el número e: si f → 0 y g → ∞, el límite de (1 + f)^g es e elevado al límite de f·g.
- La regla de L'Hôpital solo se aplica a 0/0 e ∞/∞; antes conviene simplificar o factorizar.
- f es continua en x = a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden. En funciones a trozos: límite por la izquierda = límite por la derecha = f(a).
- Asíntotas: vertical donde el límite es ±∞; horizontal si el límite en el infinito es un número L; oblicua y = mx + n con m = límite de f(x)/x y n = límite de f(x) − mx.
Derivadas y optimización
- f'(a) = límite cuando h → 0 de [f(a + h) − f(a)]/h. Derivabilidad implica continuidad, pero no al revés (valor absoluto en el origen).
- f' > 0 indica crecimiento; f' < 0, decrecimiento. f'' > 0 indica convexa (∪) y f'' < 0, cóncava (∩); hay inflexión donde cambia la curvatura.
- En optimización, se despeja una variable de la restricción, se construye la función de una sola variable y se estudia en su intervalo, comparando candidatos y extremos.
Ejemplo resuelto
Hallar a y b para que f(x) = x³ + ax + b tenga un mínimo relativo en el punto (1, −1). f'(x) = 3x² + a; la condición de extremo da f'(1) = 3 + a = 0, luego a = −3. El punto pertenece a la gráfica: f(1) = 1 − 3 + b = −1, luego b = 1. Comprobación: f''(x) = 6x y f''(1) = 6 > 0, así que efectivamente es un mínimo. La función es f(x) = x³ − 3x + 1.
Errores que restan puntos
- Aplicar L'Hôpital sin verificar la indeterminación.
- Estudiar la continuidad en el punto de corte sin igualar los dos límites laterales.
- Confundir punto de inflexión con extremo, o no comprobar el cambio de signo de la derivada.
- No justificar si el punto crítico es máximo o mínimo mediante f'' o el signo de f'.